Talan pí (π) er óræð tala eins og það er kallað í stærðfræði, en það merkir að hún verður ekki skrifuð sem brot þar sem heilli tölu er deilt í aðra heila tölu. Þegar pí er skrifað sem tugabrot verða aukastafirnir óendanlega margir.
Margir tengja pí sjálfsagt við brotið 22/7 en það er ekki "sama sem" pí í skilningi stærðfræðinnar. Hins vegar erum við svo heppin að þetta einfalda brot gefur furðu góða nálgun. Auðvelt er að reikna út á vasareikni að hlutfallslega frávikið er aðeins 4/10.000.
Pí er upphaflega skilgreint sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls í hring. Annað frægt dæmi um óræða tölu er ferningsrótin (kvaðratrótin, square root) af 2. Sönnunin á því að hún sé óræð er afar einföld og hefur verið þekkt síðan í fornöld. Forngrískir stærðfræðingar reyndu sem þeir gátu að tengja pí við aðrar þekktar tölur, þar á meðal óræðar eins og rótina af 2, en það hefur aldrei tekist. Þriðja dæmið um velþekkta og mikilvæga óræða tölu er grunntala veldisvísisfallsins, sem táknuð er með e.
Allar tölur sem hægt er að skrifa sem tugabrot með endanlegum fjölda aukastafa eru ræðar, því að hægt er að skrifa þær sem brot. Til dæmis er 0,137 = 137/1000. Óendanleg tugabrot sem endurtaka sig eru einnig ræðar tölur; til dæmis er 0,141414 ... = 14/99. Öll önnur óendanleg tugabrot eru óræðar tölur. Af þessu leiðir að óræð tala eins og pí (eða rótin af 2) er óendanlegt og óreglulegt tugabrot. Hver aukastafur tugabrotsins er óháður hinum og í rauninni sjálfstætt verkefni. Það verkefni að reikna pí sem tugabrot er óendanlegt.
Með sífellt öflugri tölvum hafa orðið miklar framfarir í verkefnum á borð við það að reikna pí með fleiri og fleiri aukastöfum. Stöðugt er verið að reikna út fleiri stafi og nú hafa 5 billjón aukastafir verið fundnir. Enn er verið að setja ný met með æ hraðvirkari og öflugri tölvum. Ef við ættum að sýna alla þessa stafi hér mundi tölva Vísindavefsins ekki duga til þess og auk þess er hætt við lesendum þætti það ekki skemmtilegur lestur!
Árið 1995 uppgötvuðu David Bailey, Peter Borwein og Simon Plouffe eftirfarandi formúlu fyrir nákvæmt gildi á pí:
$$\pi=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6})$$ Þessi formúla var notuð til að finna 10 milljarðasta aukastafinn í pí þegar það er skrifað sem tugabrot með grunntölunni 16 sem er oft notuð í tölvum nú á dögum eins og kunnugt er (hexadecimal notation). Fleiri formúlur hafa verið uppgötvaðar síðan, sem byggja á þeirri fyrri, en aðalmarkmið þeirra hefur verið að finna leiðir til að reikna dæmið á einfaldari hátt.
Mynd:
Hrannar Baldursson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?
“ Vísindavefurinn, 7. maí 2000. Sótt 23. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=401.
Hrannar Baldursson og Þorsteinn Vilhjálmsson. (2000, 7. maí). Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?
Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=401
Hrannar Baldursson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?
“ Vísindavefurinn. 7. maí. 2000. Vefsíða. 23. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=401>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:26 • sest 21:28
Tunglið
Rís 21:24 • Sest 05:22
Flóð
Árdegis: 06:10 • Síðdegis: 18:30
Fjara
Árdegis: 00:11 • Síðdegis: 12:20
Talan pí (π) er óræð tala eins og það er kallað í stærðfræði, en það merkir að hún verður ekki skrifuð sem brot þar sem heilli tölu er deilt í aðra heila tölu. Þegar pí er skrifað sem tugabrot verða aukastafirnir óendanlega margir.
Margir tengja pí sjálfsagt við brotið 22/7 en það er ekki "sama sem" pí í skilningi stærðfræðinnar. Hins vegar erum við svo heppin að þetta einfalda brot gefur furðu góða nálgun. Auðvelt er að reikna út á vasareikni að hlutfallslega frávikið er aðeins 4/10.000.
Pí er upphaflega skilgreint sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls í hring. Annað frægt dæmi um óræða tölu er ferningsrótin (kvaðratrótin, square root) af 2. Sönnunin á því að hún sé óræð er afar einföld og hefur verið þekkt síðan í fornöld. Forngrískir stærðfræðingar reyndu sem þeir gátu að tengja pí við aðrar þekktar tölur, þar á meðal óræðar eins og rótina af 2, en það hefur aldrei tekist. Þriðja dæmið um velþekkta og mikilvæga óræða tölu er grunntala veldisvísisfallsins, sem táknuð er með e.
Allar tölur sem hægt er að skrifa sem tugabrot með endanlegum fjölda aukastafa eru ræðar, því að hægt er að skrifa þær sem brot. Til dæmis er 0,137 = 137/1000. Óendanleg tugabrot sem endurtaka sig eru einnig ræðar tölur; til dæmis er 0,141414 ... = 14/99. Öll önnur óendanleg tugabrot eru óræðar tölur. Af þessu leiðir að óræð tala eins og pí (eða rótin af 2) er óendanlegt og óreglulegt tugabrot. Hver aukastafur tugabrotsins er óháður hinum og í rauninni sjálfstætt verkefni. Það verkefni að reikna pí sem tugabrot er óendanlegt.
Með sífellt öflugri tölvum hafa orðið miklar framfarir í verkefnum á borð við það að reikna pí með fleiri og fleiri aukastöfum. Stöðugt er verið að reikna út fleiri stafi og nú hafa 5 billjón aukastafir verið fundnir. Enn er verið að setja ný met með æ hraðvirkari og öflugri tölvum. Ef við ættum að sýna alla þessa stafi hér mundi tölva Vísindavefsins ekki duga til þess og auk þess er hætt við lesendum þætti það ekki skemmtilegur lestur!
Árið 1995 uppgötvuðu David Bailey, Peter Borwein og Simon Plouffe eftirfarandi formúlu fyrir nákvæmt gildi á pí:
$$\pi=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6})$$ Þessi formúla var notuð til að finna 10 milljarðasta aukastafinn í pí þegar það er skrifað sem tugabrot með grunntölunni 16 sem er oft notuð í tölvum nú á dögum eins og kunnugt er (hexadecimal notation). Fleiri formúlur hafa verið uppgötvaðar síðan, sem byggja á þeirri fyrri, en aðalmarkmið þeirra hefur verið að finna leiðir til að reikna dæmið á einfaldari hátt.
Mynd: