Sólin Sólin Rís 04:22 • sest 22:44 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 23:45 • Sest 10:35 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 09:21 • Síðdegis: 21:42 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:17 • Síðdegis: 15:23 í Reykjavík

Hvað er níu-prófun?

Kristín Bjarnadóttir

Öll spurningin hljóðaði svona:

Mér var kennt um miðja síðustu öld að finna þversummu þar til aðeins einn tölustafur stæði eftir. Dæmi: 378 ... 3 + 7 + 8 = 18 og 1 + 8 = 9. Þar með væri þversumma tölunnar 378 níu. Er það rangt? Og ef svo er, hvað kallast þá að taka ítrekað þversummu niður í einn tölustaf?

Við deilingu með 9 í 10 og veldi af 10 gengur alltaf einn af. Þetta má sannfærast um með því að draga 1 frá 10, 100, 1000, 10000, 100000, … Augljóslega verða svörin 9, 99, 999, 9999, 99999, …, öll deilanleg með 9. Afgangurinn þegar 9 er deilt upp í veldi af 10 verður 1 í öllum tilvikum.

Við getum þá litið á tölur eins og 6000 sem er 6·1000 og sagt okkur um leið að afgangurinn verði 6·1 = 6 þegar deilt er í 6000 með 9.

Ef við vildum athuga hver afgangurinn verður þegar 9 er deilt upp í 6543 væri hægt að gera það lið fyrir lið:

Töluna 6543 má rita sem liðastærðina 6·1000 + 5·100 + 4·10 + 3.

Afgangar þegar deilt er með 9 verða þá

6·1 + 5·1 + 4·1 + 3
= 6 + 5 + 4 + 3
= 18

En talan 9 gengur upp í 18. Afgangurinn þegar deilt er með 9 í 6543 er þá 0 og deilingin gengur upp.

Af dæminu sést að það nægir að leggja saman tölustafi tölunnar, þversummu hennar, til að finna afgang þegar deilt er með 9.

Hefði nú talan verið feiknastór eins og til dæmis 56.378.946.128 væri hægt að finna þversummu hennar og fá út 59 sem er summa afganganna þegar deilt er með 9 í hvern lið. Segjum nú svo að við kunnum ekki 9-sinnum töfluna til hlítar og sjáum ekki af þversummunni, 59, hver minnsti afgangurinn er þegar deilt er með 9 í stóru töluna. Þá mætti ráðast á þversummu tölunnar, 59, og finna þversummu hennar: 5 + 9 = 14. Það er líka of stór tala til að vera minnsti afgangur þannig að við gætum haldið áfram og fundið þversummu 14 sem er 5. Þá vitum við að minnsti afgangur þegar 56.378.946.128 er deilt með 9 er 5.

Langt fram eftir tuttugustu öld þurfti að reikna allt á blaði án reiknivélar. Þá var hentugt að hafa tiltækar aðferðir sem gátu gefið vísbendingar um reiknivillur. Ein aðferðin var níu-prófun.

Spurt er hvort þversumma stóru tölunnar 56.378.946.128 sé 5. Það stríðir gegn merkingu orðsins þversumma og er ekki málvenja. Þetta ferli, að taka þversummu ítrekað þar til komin er eins tölustafs tala, er hins vegar óbrigðul tækni til að finna minnsta afgang tölu þegar deilt er í hana með 9 og er hluti af svonefndri níu-prófun.

Hvers vegna skyldi vera áhugavert að finna minnsta afgang tölu þegar deilt er í hana með 9? Langt fram eftir tuttugustu öld þurfti að reikna allt á blaði án reiknivélar. Þá var hentugt að hafa tiltækar aðferðir sem gátu gefið vísbendingar um reiknivillur. Ein aðferðin var níu-prófun, ferlið sem er lýst hér að framan: að taka þversummu ítrekað þar til fundin var eins stafs tala. Ef summa tveggja dálka átti að vera hin sama, mátti prófa að finna þversummur hvers liðar í summunum, leggja þversummurnar saman í hvorum dálki fyrir sig og halda áfram að taka þversummur þar til komin var eins stafs tala. Ef niðurstaðan var ekki hin sama í báðum dálkum hlaut villa að leynast einhvers staðar. Hins vegar var það ekki örugg sönnun að fá sömu niðurstöðu í báðum dálkum. Helsta villan, sem dulist gat við níu-prófun, var mislestur á tölunni 9 fyrir 0, en handskrifaðir tölustafirnir 9 og 0 gátu verið líkir. Þess er getið í skýrslunni New Thinking in School Mathematics, sem OEEC, forveri OECD, gaf út árið 1961, að hætt skyldi að kenna níu-prófun. Hvort tveggja var að reglan gefur einungis vísbendingu, og reiknivélar voru að verða algengar á vinnumarkaðnum þótt börn og unglingar hefðu slík tæki ekki undir höndum fyrr en síðar.

Níu-prófun má líka nota við margföldun. Það var enn hagnýtara þar sem vélar sem gátu margfaldað komu enn síðar á markað en vélar sem gátu lagt saman og dregið frá.

Skýringu á notkun þversummu til að finna afganga þegar deilt er í heiltölu með 9 má setja fram með almennara hætti:

Heiltala er rituð ...fedcba í tugakerfi. Hana má liða niður í

………. + f·105 + e·104 + d·103 + c·102 + b·101 + a·100.

Þá er afgangurinn þegar deilt er með 9 í töluna:

= .............. + f·1 + e·1 + d·1 + c·1 + b·1 + a
= .............. + f + e + d + c + b + a

Sérhver heiltala í tugakerfi hefur þá sama afgang og þversumma hennar þegar deilt er í hana með 9.

Mynd:

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

20.4.2021

Spyrjandi

Hanna

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hvað er níu-prófun?“ Vísindavefurinn, 20. apríl 2021. Sótt 28. júlí 2021. http://visindavefur.is/svar.php?id=80003.

Kristín Bjarnadóttir. (2021, 20. apríl). Hvað er níu-prófun? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=80003

Kristín Bjarnadóttir. „Hvað er níu-prófun?“ Vísindavefurinn. 20. apr. 2021. Vefsíða. 28. júl. 2021. <http://visindavefur.is/svar.php?id=80003>.

Chicago | APA | MLA

Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvað er níu-prófun?
Öll spurningin hljóðaði svona:

Mér var kennt um miðja síðustu öld að finna þversummu þar til aðeins einn tölustafur stæði eftir. Dæmi: 378 ... 3 + 7 + 8 = 18 og 1 + 8 = 9. Þar með væri þversumma tölunnar 378 níu. Er það rangt? Og ef svo er, hvað kallast þá að taka ítrekað þversummu niður í einn tölustaf?

Við deilingu með 9 í 10 og veldi af 10 gengur alltaf einn af. Þetta má sannfærast um með því að draga 1 frá 10, 100, 1000, 10000, 100000, … Augljóslega verða svörin 9, 99, 999, 9999, 99999, …, öll deilanleg með 9. Afgangurinn þegar 9 er deilt upp í veldi af 10 verður 1 í öllum tilvikum.

Við getum þá litið á tölur eins og 6000 sem er 6·1000 og sagt okkur um leið að afgangurinn verði 6·1 = 6 þegar deilt er í 6000 með 9.

Ef við vildum athuga hver afgangurinn verður þegar 9 er deilt upp í 6543 væri hægt að gera það lið fyrir lið:

Töluna 6543 má rita sem liðastærðina 6·1000 + 5·100 + 4·10 + 3.

Afgangar þegar deilt er með 9 verða þá

6·1 + 5·1 + 4·1 + 3
= 6 + 5 + 4 + 3
= 18

En talan 9 gengur upp í 18. Afgangurinn þegar deilt er með 9 í 6543 er þá 0 og deilingin gengur upp.

Af dæminu sést að það nægir að leggja saman tölustafi tölunnar, þversummu hennar, til að finna afgang þegar deilt er með 9.

Hefði nú talan verið feiknastór eins og til dæmis 56.378.946.128 væri hægt að finna þversummu hennar og fá út 59 sem er summa afganganna þegar deilt er með 9 í hvern lið. Segjum nú svo að við kunnum ekki 9-sinnum töfluna til hlítar og sjáum ekki af þversummunni, 59, hver minnsti afgangurinn er þegar deilt er með 9 í stóru töluna. Þá mætti ráðast á þversummu tölunnar, 59, og finna þversummu hennar: 5 + 9 = 14. Það er líka of stór tala til að vera minnsti afgangur þannig að við gætum haldið áfram og fundið þversummu 14 sem er 5. Þá vitum við að minnsti afgangur þegar 56.378.946.128 er deilt með 9 er 5.

Langt fram eftir tuttugustu öld þurfti að reikna allt á blaði án reiknivélar. Þá var hentugt að hafa tiltækar aðferðir sem gátu gefið vísbendingar um reiknivillur. Ein aðferðin var níu-prófun.

Spurt er hvort þversumma stóru tölunnar 56.378.946.128 sé 5. Það stríðir gegn merkingu orðsins þversumma og er ekki málvenja. Þetta ferli, að taka þversummu ítrekað þar til komin er eins tölustafs tala, er hins vegar óbrigðul tækni til að finna minnsta afgang tölu þegar deilt er í hana með 9 og er hluti af svonefndri níu-prófun.

Hvers vegna skyldi vera áhugavert að finna minnsta afgang tölu þegar deilt er í hana með 9? Langt fram eftir tuttugustu öld þurfti að reikna allt á blaði án reiknivélar. Þá var hentugt að hafa tiltækar aðferðir sem gátu gefið vísbendingar um reiknivillur. Ein aðferðin var níu-prófun, ferlið sem er lýst hér að framan: að taka þversummu ítrekað þar til fundin var eins stafs tala. Ef summa tveggja dálka átti að vera hin sama, mátti prófa að finna þversummur hvers liðar í summunum, leggja þversummurnar saman í hvorum dálki fyrir sig og halda áfram að taka þversummur þar til komin var eins stafs tala. Ef niðurstaðan var ekki hin sama í báðum dálkum hlaut villa að leynast einhvers staðar. Hins vegar var það ekki örugg sönnun að fá sömu niðurstöðu í báðum dálkum. Helsta villan, sem dulist gat við níu-prófun, var mislestur á tölunni 9 fyrir 0, en handskrifaðir tölustafirnir 9 og 0 gátu verið líkir. Þess er getið í skýrslunni New Thinking in School Mathematics, sem OEEC, forveri OECD, gaf út árið 1961, að hætt skyldi að kenna níu-prófun. Hvort tveggja var að reglan gefur einungis vísbendingu, og reiknivélar voru að verða algengar á vinnumarkaðnum þótt börn og unglingar hefðu slík tæki ekki undir höndum fyrr en síðar.

Níu-prófun má líka nota við margföldun. Það var enn hagnýtara þar sem vélar sem gátu margfaldað komu enn síðar á markað en vélar sem gátu lagt saman og dregið frá.

Skýringu á notkun þversummu til að finna afganga þegar deilt er í heiltölu með 9 má setja fram með almennara hætti:

Heiltala er rituð ...fedcba í tugakerfi. Hana má liða niður í

………. + f·105 + e·104 + d·103 + c·102 + b·101 + a·100.

Þá er afgangurinn þegar deilt er með 9 í töluna:

= .............. + f·1 + e·1 + d·1 + c·1 + b·1 + a
= .............. + f + e + d + c + b + a

Sérhver heiltala í tugakerfi hefur þá sama afgang og þversumma hennar þegar deilt er í hana með 9.

Mynd:...