Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:12 • sest 21:41 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 00:00 • Sest 00:00 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 08:09 • Síðdegis: 20:27 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 02:12 • Síðdegis: 14:14 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Af hverju er mínus sinnum mínus sama og plús?

Þorsteinn Vilhjálmsson

Eins og í svo mörgum öðrum reglum stærðfræðinnar er þetta gert þannig að allt gangi upp að lokum á sem eðlilegastan og einfaldastan hátt. Við leiðum rök að þessu hér á eftir.

Talan -1 er skilgreind þannig að
1 + (-1) = 0
Við margföldum vinstri hlið þessarar jöfnu með sjálfri sér og fáum þá auðvitað aftur 0:
0 = (1 + (-1)) ∙ (1 + (-1)) =
1 + (-1)∙1 + 1∙(-1) + (-1)∙(-1) =
1 + (-1) + (-1) + (-1)∙(-1) = (-1) + x = 0
þar sem x er talan sem við erum að leita að.

Við höfum notað hér einfaldar reiknireglur eða -aðferðir eins og að margfalda saman sviga og að 1∙a = a∙1 = a fyrir hvaða tölu a sem er, en það skilgreinir töluna 1 gagnvart margföldun. Einnig höfum við notað regluna hér á undan um 1 + (-1).

Talan x sem hefur þann eiginleika sem lýst er í síðustu jöfnunni,

(-1) + x = 0, er einmitt x = 1 og þannig höfum við sýnt að
(-1)∙(-1) = 1
Þetta notum við síðan til að rökstyðja hvað kemur út úr "mínus sinnum mínus" almennt. Við látum þá tölurnar a og b vera einhverjar plústölur og reiknum út með gætni, skref fyrir skref:
(-a)∙(-b) = (-1)∙a∙(-1)b = (-1)∙(-1)∙a∙b =
a∙b = + a∙b
Þannig höfum við sýnt almennt fram á þá einföldu reglu að "mínus sinnum mínus er plús".

Lesendur sem hafa komist svona langt í svarinu hafa kannski gaman af að bera það saman við svar okkar við spurningunni Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir? Aðferðirnar eru þær sömu í þessum tveimur svörum: Að taka ekkert sem gefið nema það sem áður hefur verið rökstutt eða skilgreint og að leiða niðurstöðurnar fram með gætni, skref fyrir skref. Þannig geta menn sannfært sjálfa sig um að bæði sé skynsamlegt og nauðsynlegt að hafa þetta svona til þess að bygging stærðfræðinnar verði traust, gagnsæ og notadrjúg. Að því loknu er síðan óhætt að gleyma hvernig þetta var fengið í smærri atriðum en leggja þeim mun meiri áherslu á að tileinka sér þessar reglur og beita þeim þannig að þær nýtist sem best.

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Útgáfudagur

12.2.2003

Spyrjandi

Dagný Hauksdóttir

Efnisorð

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Af hverju er mínus sinnum mínus sama og plús?“ Vísindavefurinn, 12. febrúar 2003. Sótt 27. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=3136.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2003, 12. febrúar). Af hverju er mínus sinnum mínus sama og plús? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=3136

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Af hverju er mínus sinnum mínus sama og plús?“ Vísindavefurinn. 12. feb. 2003. Vefsíða. 27. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=3136>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Af hverju er mínus sinnum mínus sama og plús?
Eins og í svo mörgum öðrum reglum stærðfræðinnar er þetta gert þannig að allt gangi upp að lokum á sem eðlilegastan og einfaldastan hátt. Við leiðum rök að þessu hér á eftir.

Talan -1 er skilgreind þannig að
1 + (-1) = 0
Við margföldum vinstri hlið þessarar jöfnu með sjálfri sér og fáum þá auðvitað aftur 0:
0 = (1 + (-1)) ∙ (1 + (-1)) =
1 + (-1)∙1 + 1∙(-1) + (-1)∙(-1) =
1 + (-1) + (-1) + (-1)∙(-1) = (-1) + x = 0
þar sem x er talan sem við erum að leita að.

Við höfum notað hér einfaldar reiknireglur eða -aðferðir eins og að margfalda saman sviga og að 1∙a = a∙1 = a fyrir hvaða tölu a sem er, en það skilgreinir töluna 1 gagnvart margföldun. Einnig höfum við notað regluna hér á undan um 1 + (-1).

Talan x sem hefur þann eiginleika sem lýst er í síðustu jöfnunni,

(-1) + x = 0, er einmitt x = 1 og þannig höfum við sýnt að
(-1)∙(-1) = 1
Þetta notum við síðan til að rökstyðja hvað kemur út úr "mínus sinnum mínus" almennt. Við látum þá tölurnar a og b vera einhverjar plústölur og reiknum út með gætni, skref fyrir skref:
(-a)∙(-b) = (-1)∙a∙(-1)b = (-1)∙(-1)∙a∙b =
a∙b = + a∙b
Þannig höfum við sýnt almennt fram á þá einföldu reglu að "mínus sinnum mínus er plús".

Lesendur sem hafa komist svona langt í svarinu hafa kannski gaman af að bera það saman við svar okkar við spurningunni Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir? Aðferðirnar eru þær sömu í þessum tveimur svörum: Að taka ekkert sem gefið nema það sem áður hefur verið rökstutt eða skilgreint og að leiða niðurstöðurnar fram með gætni, skref fyrir skref. Þannig geta menn sannfært sjálfa sig um að bæði sé skynsamlegt og nauðsynlegt að hafa þetta svona til þess að bygging stærðfræðinnar verði traust, gagnsæ og notadrjúg. Að því loknu er síðan óhætt að gleyma hvernig þetta var fengið í smærri atriðum en leggja þeim mun meiri áherslu á að tileinka sér þessar reglur og beita þeim þannig að þær nýtist sem best....