Hvað er hægt að segja um hæstu tölu sem gengur upp í tiltekinni tölu, meðal annars ef hún er margfeldi tveggja frumtalna?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er hægt að segja um hæstu tölu sem gengur upp í tiltekinni tölu, meðal annars ef hún er margfeldi tveggja frumtalna?

Upphafleg spurning var sem hér segir:

Ef p og q eru prímtölur og r = p ∙ q, er þá hæsta talan sem gengur upp í r rótin af r og það er þegar p = q?

Hér er spurt um helstil margt í senn en við höfum reynt að greiða úr því. Fyrst er rétt að rifja það upp að frumtala eða prímtala er tala sem engin heiltala gengur upp í (önnur en talan sjálf og 1).

Ef r er annað veldi frumtölu má skrifa r = p ∙ p þar sem p er frumtala (p = q eins og segir í spurningunni). Frumtalan p er þá ekki aðeins hæsta talan sem gengur upp í r heldur líka eina talan sem gerir það.

Ef gefin er heil tala r og við viljum finna hæstu tölu sem gengur upp í henni, þá vitum við að hægt er að fullþátta hana sem kallað er, það er að segja að skrifa hana sem margfeldi þar sem allir þættirnir eru frumtölur. Slíkt er hægt að gera á aðeins einn hátt. Ef við deilum í r með minnsta frumtöluþættinum í henni fáum við stærstu töluna sem gengur upp í r. Ef r er til dæmis slétt tala, þá er stærsti deilir hennar heila talan r/2. Ef r er oddatala sem 3 ganga upp í þá er stærsti deilir heila talan r/3, og svo framvegis. Dæmi um þetta gætu verið sem hér segir:

• r = 522, stærsti deilir = 522/2 = 261
• r = 525, stærsti deilir = 525/3 = 175
• r = 527, stærsti deilir = 527/17 = 31

Ein aðferðin til að fullþátta tiltekna tölu r er sú að feta sig áfram eftir röð frumtalnanna, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., deila með þeirri fyrstu í r þar til deilingin gengur ekki upp, taka það sem þá er eftir og deila með þeirri næstu og svo framvegis. Hafa má í huga að þessu þarf aðeins að halda áfram þar til komið er upp fyrir rótina af þeirri tölu sem verið er að fást við hverju sinni. Ef engin prímtala sem er minni en rótin af r gengur upp í r getum við ályktað að r sé prímtala. -- Dæmi:

• 522 = 2∙261 = 2∙3∙87 = 2∙3∙3∙29. Fullþáttað því að 29 er frumtala.
• 525 = 3∙175 = 3∙5∙35 = 3∙5∙5∙7. Fullþáttað.
• 527 = 17∙31. Fullþáttað.

Sami spyrjandi spurði einnig hvort hægt sé að þátta tölu í tvær frumtölur á fleiri en einn veg. Svar við því verður vonandi birt síðar.

Mynd: HB...