Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 10:34 • sest 16:46 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 24:35 • Sest 11:55 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 09:46 • Síðdegis: 22:13 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:36 • Síðdegis: 16:06 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?

Rögnvaldur G. Möller

Svarið fer eftir því hvort sá sem dregur setur miðann aftur í hattinn þegar hann er búinn að draga eða ekki. Svarið finnst samt á svipaðan hátt í báðum tilvikum. Hér á eftir er gert ráð fyrir að nöfnin séu öll ólík, en ef einhver nafnanna eru þau sömu þá má líka nálgast verkefnið á þann hátt sem lýst er hér á eftir.

Það sem við getum kallað útkomu úr svona tilraun er listi yfir hvaða nafn hver þátttakandi dró. Aðeins ein útkoma er þannig að allir dragi sitt nafn, því að nöfnin eru öll ólík. Hvort sem miðum er skilað aftur í hattinn eftir drátt eða ekki er auðvelt að sjá að sérhverjar tvær útkomur eru jafn líklegar. Líkurnar á því að fá einhverja tiltekna útkomu eru því $$\frac{1}{\text{fjöldi mögulegra útkoma}}$$
Ekki er talið að gerð hattsins hafi áhrif á líkurnar.

Skoðum fyrst hvað gerist ef miðunum er skilað í hattinn eftir drátt. Þá eru tíu möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur, svo eru líka tíu möguleikar á nafninu sem sá næsti dregur og svo framvegis. Útkoman úr tilrauninni er listi með tíu nöfnum og tíu nöfn eru möguleg í hvert sæti. Sama nafn getur komið fyrir allt að 10 sinnum. Heildarfjöldi möguleika er
10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10 = 10.000.000.000 = 1010
Líkur á að allir fái sitt nafn eru \(\frac{1}{10^{10}}\) eða einn á móti 10 milljörðum sem er jafnt og 0,00000000001.

Skoðum nú hvað gerist ef miðunum er ekki skilað til baka í hattinn. Þá eru 10 möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur. Þegar hann hefur dregið eru eftir 9 miðar í hattinum svo að sá næsti getur dregið 9 möguleg nöfn, sá þar á eftir dregur úr 8 nöfnum og svo koll af kolli. Aftur er útkoman úr tilrauninni listi með 10 nöfnum. Í fyrsta sæti koma 10 nöfn til greina, í annað sætið 9 nöfn og svo framvegis. Hvert nafn kemur nú fyrir nákvæmlega einu sinni á listanum. Fjöldi mögulegra lista er
10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 3.628.800
Líkur á að allir dragi sitt nafn eru þá $\frac{1}{3.628.800}$ sem er um það bil jafnt og 0,00000026.

Mynd:

Höfundur

Rögnvaldur G. Möller

Rögnvaldur G. Möller

prófessor í stærðfræði við HÍ

Útgáfudagur

28.5.2001

Spyrjandi

Arnar Orri Eyjólfsson

Efnisorð

Tilvísun

Rögnvaldur G. Möller. „Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?“ Vísindavefurinn, 28. maí 2001. Sótt 23. janúar 2022. http://visindavefur.is/svar.php?id=1648.

Rögnvaldur G. Möller. (2001, 28. maí). Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=1648

Rögnvaldur G. Möller. „Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?“ Vísindavefurinn. 28. maí. 2001. Vefsíða. 23. jan. 2022. <http://visindavefur.is/svar.php?id=1648>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?
Svarið fer eftir því hvort sá sem dregur setur miðann aftur í hattinn þegar hann er búinn að draga eða ekki. Svarið finnst samt á svipaðan hátt í báðum tilvikum. Hér á eftir er gert ráð fyrir að nöfnin séu öll ólík, en ef einhver nafnanna eru þau sömu þá má líka nálgast verkefnið á þann hátt sem lýst er hér á eftir.

Það sem við getum kallað útkomu úr svona tilraun er listi yfir hvaða nafn hver þátttakandi dró. Aðeins ein útkoma er þannig að allir dragi sitt nafn, því að nöfnin eru öll ólík. Hvort sem miðum er skilað aftur í hattinn eftir drátt eða ekki er auðvelt að sjá að sérhverjar tvær útkomur eru jafn líklegar. Líkurnar á því að fá einhverja tiltekna útkomu eru því $$\frac{1}{\text{fjöldi mögulegra útkoma}}$$
Ekki er talið að gerð hattsins hafi áhrif á líkurnar.

Skoðum fyrst hvað gerist ef miðunum er skilað í hattinn eftir drátt. Þá eru tíu möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur, svo eru líka tíu möguleikar á nafninu sem sá næsti dregur og svo framvegis. Útkoman úr tilrauninni er listi með tíu nöfnum og tíu nöfn eru möguleg í hvert sæti. Sama nafn getur komið fyrir allt að 10 sinnum. Heildarfjöldi möguleika er
10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10 = 10.000.000.000 = 1010
Líkur á að allir fái sitt nafn eru \(\frac{1}{10^{10}}\) eða einn á móti 10 milljörðum sem er jafnt og 0,00000000001.

Skoðum nú hvað gerist ef miðunum er ekki skilað til baka í hattinn. Þá eru 10 möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur. Þegar hann hefur dregið eru eftir 9 miðar í hattinum svo að sá næsti getur dregið 9 möguleg nöfn, sá þar á eftir dregur úr 8 nöfnum og svo koll af kolli. Aftur er útkoman úr tilrauninni listi með 10 nöfnum. Í fyrsta sæti koma 10 nöfn til greina, í annað sætið 9 nöfn og svo framvegis. Hvert nafn kemur nú fyrir nákvæmlega einu sinni á listanum. Fjöldi mögulegra lista er
10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 3.628.800
Líkur á að allir dragi sitt nafn eru þá $\frac{1}{3.628.800}$ sem er um það bil jafnt og 0,00000026.

Mynd:...