Áður en vasareiknar komu til sögu voru reiknistokkar og logratöflur (lógaritmatöflur) notaðar til reikninga af þessu tagi. Það kostaði allnokkra vinnu og vasareiknarnir spara okkur hana. Til þess að gera slíka reikninga án nokkurra hjálpartækja þarf talsverða stærðfræðikunnáttu og -leikni.
Einungis í mjög fáum tilfellum er hægt að fá nákvæmt svar fyrir rætur af heilum tölum. Til að mynda er ferningsrótin eða kvaðratrótin af $4$ ($\sqrt{4}$) nákvæmlega $2$ en ferningsrótin af $2$ ($\sqrt{2}$) er óræð tala ($1,41421356...$) sem er ekki hægt að tákna nákvæmlega sem brot. Nánar er fjallað um óræðar tölur í svari Einars Bjarka Gunnarssonar við spurningunni Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?
Ein leið til að finna þessar rætur er einfaldlega að prófa sig áfram. Ferningsrótin af tveimur ($\sqrt{2}$) er sú tala sem gefur útkomuna $2$ þegar hún er margfölduð með sjálfri sér. Við erum því að leita að óþekktri tölu $x$ sem er þannig að $x^2=2$. Við sjáum að $x$, ferningsrótin af tveimur, liggur milli $1$ og $2$ því að $1^2=1$ og $2^2=4$. Á sama hátt sjáum við að $x$ er á milli $1,4$ og $1,5$ því að $1,4^2=1,96<2$ en $1,5^2= 2,25>2$. Næsta skref er síðan að skoða tölurnar $1,40$; $1,41$; $1,42$ upp í $1,49$. Þá fáum við meðal annars að $1,41^2= 1,9881<2$ og $1,42^2 = 2,0164>2$. Þetta sýnir að kvaðratrótin af tveimur liggur milli $1,41$ og $1,42$.
Ein fljótleg aðferð til að finna nálgunarlausnir á svona dæmum byggist á því að þekkja nokkrar nákvæmar heiltölulausnir. Til dæmis geta þeir sem vita að fjórða rótin af $16$ er $2$ slegið á hvað fjórða rótin af $17$ ($\sqrt[4]{17}$) er með eftirfarandi aðferð:$$\sqrt[4]{17}=\sqrt[4]{16+1}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{1+\frac{1}{16}}=2\cdot\sqrt[4]{1+\frac{1}{16}}.$$ Til að halda áfram með þessa reikninga þarf að þekkja þá niðurstöðu úr örsmæðareikningi (calculus) að $$(1+a)^b$$ er um það bil jafnt og $$1+a\cdot b$$ þegar $a$ er miklu minni en $1$.
Þá má segja: $$2\cdot\sqrt[4]{1+1/16}$$ er um það bil$$2\cdot\left(1+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\right)=2\cdot\left(1+\frac{1}{64}\right)=2+\frac{1}{32}.$$ Reiknivél gefur að $\sqrt[4]{17}= 2,03054...$ en að $2 +\frac{1}{32}= 2,03125$. Þetta er nokkuð góð samsvörun fyrir svona einfalda aðferð.
Vegna þess að $\sqrt[3]{8}=2$ má einnig nota þessa aðferð til að leysa dæmið sem spyrjandi nefnir, að finna þriðju rótina af $7$ (að vísu ekki með jafngóðri nákvæmni). Þá er reiknað:$$\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{8-1}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{1 - \frac{1}{8}}= 2 \cdot\sqrt[3]{1-\frac{1}{8}}$$ sem er um það bil jafnt og $$2\cdot(1 - \frac{1}{8}\cdot{1}{3}=2\cdot(1 - \frac{1}{24}) = 2 - \frac{1}{12}.$$ Reiknivél gefur að $\sqrt[3]{7}= 1,91293....$ en $2-\frac{1}{12}=1,91667$.
Þetta dæmi hefði verið reiknað með logratöflum sem hér segir. Við leitum að tölu $x$ sem er þannig að $x^3=7$. Þá er $3\cdot log(x)=log(7)$, $log(x)=\frac{log(7)}{3}$, og talan $x$ er síðan auðfundin í logratöflum. Þessari aðferð var einnig hægt að beita með reiknistokk en þeir voru í rauninni byggðir á logratöflum.
Mynd:
Stefán Ingi Valdimarsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvernig reiknar maður ferningsrætur og aðrar rætur, til dæmis 7 í veldinu 1/3, án vasareiknis?“ Vísindavefurinn, 26. júní 2000. Sótt 28. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=574.
Stefán Ingi Valdimarsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. (2000, 26. júní). Hvernig reiknar maður ferningsrætur og aðrar rætur, til dæmis 7 í veldinu 1/3, án vasareiknis? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=574
Stefán Ingi Valdimarsson og Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hvernig reiknar maður ferningsrætur og aðrar rætur, til dæmis 7 í veldinu 1/3, án vasareiknis?“ Vísindavefurinn. 26. jún. 2000. Vefsíða. 28. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=574>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:08 • sest 21:44
Tunglið
Rís 00:00 • Sest 00:00
Flóð
Árdegis: 08:47 • Síðdegis: 21:08
Fjara
Árdegis: 02:49 • Síðdegis: 14:50
Áður en vasareiknar komu til sögu voru reiknistokkar og logratöflur (lógaritmatöflur) notaðar til reikninga af þessu tagi. Það kostaði allnokkra vinnu og vasareiknarnir spara okkur hana. Til þess að gera slíka reikninga án nokkurra hjálpartækja þarf talsverða stærðfræðikunnáttu og -leikni.
Einungis í mjög fáum tilfellum er hægt að fá nákvæmt svar fyrir rætur af heilum tölum. Til að mynda er ferningsrótin eða kvaðratrótin af $4$ ($\sqrt{4}$) nákvæmlega $2$ en ferningsrótin af $2$ ($\sqrt{2}$) er óræð tala ($1,41421356...$) sem er ekki hægt að tákna nákvæmlega sem brot. Nánar er fjallað um óræðar tölur í svari Einars Bjarka Gunnarssonar við spurningunni Hvað eru óræðar tölur og hvernig tengist kvaðratrótin af 2 þeim?
Ein leið til að finna þessar rætur er einfaldlega að prófa sig áfram. Ferningsrótin af tveimur ($\sqrt{2}$) er sú tala sem gefur útkomuna $2$ þegar hún er margfölduð með sjálfri sér. Við erum því að leita að óþekktri tölu $x$ sem er þannig að $x^2=2$. Við sjáum að $x$, ferningsrótin af tveimur, liggur milli $1$ og $2$ því að $1^2=1$ og $2^2=4$. Á sama hátt sjáum við að $x$ er á milli $1,4$ og $1,5$ því að $1,4^2=1,96<2$ en $1,5^2= 2,25>2$. Næsta skref er síðan að skoða tölurnar $1,40$; $1,41$; $1,42$ upp í $1,49$. Þá fáum við meðal annars að $1,41^2= 1,9881<2$ og $1,42^2 = 2,0164>2$. Þetta sýnir að kvaðratrótin af tveimur liggur milli $1,41$ og $1,42$.
Ein fljótleg aðferð til að finna nálgunarlausnir á svona dæmum byggist á því að þekkja nokkrar nákvæmar heiltölulausnir. Til dæmis geta þeir sem vita að fjórða rótin af $16$ er $2$ slegið á hvað fjórða rótin af $17$ ($\sqrt[4]{17}$) er með eftirfarandi aðferð:$$\sqrt[4]{17}=\sqrt[4]{16+1}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{1+\frac{1}{16}}=2\cdot\sqrt[4]{1+\frac{1}{16}}.$$ Til að halda áfram með þessa reikninga þarf að þekkja þá niðurstöðu úr örsmæðareikningi (calculus) að $$(1+a)^b$$ er um það bil jafnt og $$1+a\cdot b$$ þegar $a$ er miklu minni en $1$.
Þá má segja: $$2\cdot\sqrt[4]{1+1/16}$$ er um það bil$$2\cdot\left(1+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\right)=2\cdot\left(1+\frac{1}{64}\right)=2+\frac{1}{32}.$$ Reiknivél gefur að $\sqrt[4]{17}= 2,03054...$ en að $2 +\frac{1}{32}= 2,03125$. Þetta er nokkuð góð samsvörun fyrir svona einfalda aðferð.
Vegna þess að $\sqrt[3]{8}=2$ má einnig nota þessa aðferð til að leysa dæmið sem spyrjandi nefnir, að finna þriðju rótina af $7$ (að vísu ekki með jafngóðri nákvæmni). Þá er reiknað:$$\sqrt[3]{7}=\sqrt[3]{8-1}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{1 - \frac{1}{8}}= 2 \cdot\sqrt[3]{1-\frac{1}{8}}$$ sem er um það bil jafnt og $$2\cdot(1 - \frac{1}{8}\cdot{1}{3}=2\cdot(1 - \frac{1}{24}) = 2 - \frac{1}{12}.$$ Reiknivél gefur að $\sqrt[3]{7}= 1,91293....$ en $2-\frac{1}{12}=1,91667$.
Þetta dæmi hefði verið reiknað með logratöflum sem hér segir. Við leitum að tölu $x$ sem er þannig að $x^3=7$. Þá er $3\cdot log(x)=log(7)$, $log(x)=\frac{log(7)}{3}$, og talan $x$ er síðan auðfundin í logratöflum. Þessari aðferð var einnig hægt að beita með reiknistokk en þeir voru í rauninni byggðir á logratöflum.
Mynd: