Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?

Hildur Guðmundsdóttir

Spyrjandi bætir við:

Er til einhver skotheld aðferð til að finna kvaðratrót tölu án vélar?
Til að finna kvaðratrót tölu er algengt að reiknivélar noti eftirfarandi aðferð. Hún byggir á ítrun Newtons sem hefur verið lýst hér á Vísindavefnum. Ef við viljum finna kvaðratrót tölunnar \(R\) þá viljum við finna \(x\) þannig að \[x=\sqrt{R}\] eða \[x^{2}=R\] Þetta jafngildir því að finna fyrir hvaða \(x\) fallið \[f(x)=x^{2}-R\]

verður núll. Þar kemur aðferð Newtons að góðum notum en með henni getum við einmitt fundið núllstöð fallsins. Ítrun Newtons fyrir fallið \(f(x)=x^{2}-R\) gefur okkur \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(x_{gamalt}+\frac{R}{x_{gamalt}})\] Þessa jöfnu notum við þannig:

  1. Við byrjum með upphafságiskun. Hún getur verið talan 1, talan \(R\) eða hvaða tala sem er önnur en núll.

  2. Næst setjum við upphafságiskunina inn í jöfnuna hér að ofan þar sem stendur \(x_{gamalt}\) og fáum þá út næstu nálgun \(x_{nýtt}\).
  3. Þetta er svo endurtekið þannig að nýja gildið er sett inn í formúluna og notað til að finna næsta gildi. Þannig eru ný gildi reiknuð út frá fyrri nálgunum og haldið er áfram þangað til æskilegri nákvæmni hefur verið náð.

Tökum dæmi og finnum kvaðratrótina af tölunni tíu. Nokkuð ljóst er að rótin liggur á milli 3 og 4 þar sem 32 = 9 og 42 = 16. Giskum því á töluna 3,5: \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(3,5+\frac{10}{3,5})=3,1786\]

Þegar haldið er áfram fæst eftirfarandi runa:

x0: 3,5

x1: 3,2

x2: 3,162

x3: 3,162277660

x4: 3,16227766016837933

x5: 3,1622776601683793319988935444327

Athugið að aðeins eru sýndir réttir aukastafir í útreikningunum. Eftir aðeins fimm ítranir höfum við yfir þrjátíu rétta aukastafi! Þessi aðferð er mjög hraðvirk og hentar vel fyrir reiknivélar en einnig er hægt að nota hana til að finna kvaðratrót án aðstoðar vélar þar sem það eina sem þarf til er deiling, margföldun og samlagning. Til eru fleiri aðferðir sem tölvur og reiknivélar nota til að reikna kvaðratrætur og einnig eru til fleiri leiðir til að reikna án vélar, til dæmis er ein aðferð þar sem notuð eru reglustika og hringfari.

Höfundur

Hildur Guðmundsdóttir

eðlisfræðinemi

Útgáfudagur

23.7.2004

Spyrjandi

Halldór Berg Harðarson

Efnisorð

Tilvísun

Hildur Guðmundsdóttir. „Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?“ Vísindavefurinn, 23. júlí 2004. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=4420.

Hildur Guðmundsdóttir. (2004, 23. júlí). Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=4420

Hildur Guðmundsdóttir. „Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?“ Vísindavefurinn. 23. júl. 2004. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=4420>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvernig reikna reiknivélar kvaðratrætur?
Spyrjandi bætir við:

Er til einhver skotheld aðferð til að finna kvaðratrót tölu án vélar?
Til að finna kvaðratrót tölu er algengt að reiknivélar noti eftirfarandi aðferð. Hún byggir á ítrun Newtons sem hefur verið lýst hér á Vísindavefnum. Ef við viljum finna kvaðratrót tölunnar \(R\) þá viljum við finna \(x\) þannig að \[x=\sqrt{R}\] eða \[x^{2}=R\] Þetta jafngildir því að finna fyrir hvaða \(x\) fallið \[f(x)=x^{2}-R\]

verður núll. Þar kemur aðferð Newtons að góðum notum en með henni getum við einmitt fundið núllstöð fallsins. Ítrun Newtons fyrir fallið \(f(x)=x^{2}-R\) gefur okkur \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(x_{gamalt}+\frac{R}{x_{gamalt}})\] Þessa jöfnu notum við þannig:

  1. Við byrjum með upphafságiskun. Hún getur verið talan 1, talan \(R\) eða hvaða tala sem er önnur en núll.

  2. Næst setjum við upphafságiskunina inn í jöfnuna hér að ofan þar sem stendur \(x_{gamalt}\) og fáum þá út næstu nálgun \(x_{nýtt}\).
  3. Þetta er svo endurtekið þannig að nýja gildið er sett inn í formúluna og notað til að finna næsta gildi. Þannig eru ný gildi reiknuð út frá fyrri nálgunum og haldið er áfram þangað til æskilegri nákvæmni hefur verið náð.

Tökum dæmi og finnum kvaðratrótina af tölunni tíu. Nokkuð ljóst er að rótin liggur á milli 3 og 4 þar sem 32 = 9 og 42 = 16. Giskum því á töluna 3,5: \[x_{nýtt}=\frac{1}{2}(3,5+\frac{10}{3,5})=3,1786\]

Þegar haldið er áfram fæst eftirfarandi runa:

x0: 3,5

x1: 3,2

x2: 3,162

x3: 3,162277660

x4: 3,16227766016837933

x5: 3,1622776601683793319988935444327

Athugið að aðeins eru sýndir réttir aukastafir í útreikningunum. Eftir aðeins fimm ítranir höfum við yfir þrjátíu rétta aukastafi! Þessi aðferð er mjög hraðvirk og hentar vel fyrir reiknivélar en einnig er hægt að nota hana til að finna kvaðratrót án aðstoðar vélar þar sem það eina sem þarf til er deiling, margföldun og samlagning. Til eru fleiri aðferðir sem tölvur og reiknivélar nota til að reikna kvaðratrætur og einnig eru til fleiri leiðir til að reikna án vélar, til dæmis er ein aðferð þar sem notuð eru reglustika og hringfari....