Adrien-Marie Legendre fæddist árið 1752 og lést árið 1833. Hann var yngstur þriggja franskra stærðfræðinga sem báru allir nafn sem hefst á L og voru virkir fyrir og á meðan frönsku byltingunni stóð og á tímum keisaraveldis Napóleons fyrsta. Hinir voru Lagrange (1736-1813) og Laplace (1749-1827). Allir lifðu lengi og urðu virtir prófessorar. Legendre er mikils metinn sem frábær stærðfræðingur en hinir tveir eru þó yfirleitt taldir hafa verið frumlegri en hann.
Allir þrír fengust fyrst og fremst við hagnýtta stærðfræði, eins og hún er kölluð nú á dögum, en það er stærðfræði sem var sköpuð til að leysa verkefni í eðlisfræði og öðrum vísindagreinum. Í hagnýttri stærðfræði eru örsmæðareikningur og stærðfræðileg verkefni sem spretta af honum, svo sem diffurjöfnur og hlutafleiðujöfnur, í fyrirrúmi. Örsmæðareikningur var skapaður til að auka skilning okkar á aflfræði, sér í lagi hreyfingu himintungla, og Frakkarnir þrír höfðu mikinn áhuga á honum. Jafnframt gerðu þeir uppgötvanir í hreinni stærðfræði, til dæmis í talnafræði. Það er því engin tilviljun að nöfn þessara manna eru vel kunnug nemendum í stærðfræði, eðlisfræði og verkfræði nú á dögum, enda áttu þeir stóran þátt í að leggja grunninn að hagnýttri stærðfræði nútímans og mörg hugtök eru kennd við þá. Nafn gígsins Legendre á tunglinu er honum til heiðurs, auk nöfn tveggja gatna í París.
Skoðum nokkur dæmi um framlag Legendres til stærðfræðinnar. Við munum sjá að hann kom víða við, en margt sem hann tók sér fyrir hendur var fullkomnað af öðrum.
Legendre-jafnan og Legendre-margliðurnar. Legendre-jafnan er annars stigs diffurjafnan $$ (1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0 $$ og Legendre-margliðurnar eru sérstakar lausnir hennar. Nánar tiltekið er Legendre-margliðan $P_l(x)$ af stigi $l$ lausn diffurjöfnunnar í tilfellinu að $\lambda=l(l+1)$, sú eina sem er takmörkuð á bilinu $-1 \lt x \lt 1$ burtséð frá margföldun með fasta. Nemendur hagnýttrar stærðfræði kynnast Legendre-jöfnunni þegar Laplace-jafnan $$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 $$ er leyst í kúlu með aðferð sem kallast aðskilnaður breytistærða. Mætti þyngdarsviðs í tómu rúmi er lausn á Laplace-jöfnunni. Í verkum Legendres koma Legendre-margliðurnar fram í röð af greinum um aðdráttarkraft sporvalna (e. ellipsoid) og form fljótandi hnatta.
Legendre-ummyndun (e. Legendre transform). Látum $f(x)$ vera kúpt fall af raunbreytu $x$. Kúpt þýðir hér að önnur afleiðan $f''$ er jákvæð alls staðar. Fyrir sérhverja rauntölu $p$ getum við reynt að leysa jöfnuna $$ f'(x)=p, $$ og vegna þess að $f$ er kúpt er lausnin ótvírætt ákvörðuð ef hún er til. Köllum lausnina $x(p)$. Fyrir öll slík $p$ myndum við $$ px-f(x) $$ og setjum $x(p)$ í stað $x$. Útkoman er fall $F(p)$ af $p$, sem er Legendre-ummynd fallsins $f(x)$. Við getum líka lýst henni á þennan hátt: $$ F(p)=\sup_x \big(px-f(x)\big). $$ Ef við reiknum út Legendre-ummynd fallsins $F(p)$ kemur í ljós að hún er aftur fallið $f(x)$ sjálft.
Legendre-ummyndun er mikilvægt fræðilegt tól í aflfræði. Hún myndar tengsl milli Lagrange-fallsins $L(\dot q,q)$ og Hamilton-fallsins $H(p,q)$ fyrir hreyfikerfi. Yfirleitt er Lagrange-fallið kúpt fall af hröðunum $\dot q$ og Legendre-ummynd þess með tilliti til $\dot q$ (fyrir hvert $q$) er einmitt Hamilton-fallið $H(p,q)$. Breytan $p$ er hér skriðþungi. Önnur hagnýting á Legendre-ummyndun varðar tengsl milli hinna mismunandi mættisfalla varmafræðinnar.
Sporger heildi (e. elliptic integrals). Ummál sporbaugs (e. ellipse) með hálfan langás $a$ og hringvik $e$ er heildið $$ a\int_0^{2\pi} (1-e^2\sin^2\theta)^{1/2}\,d\theta. $$ Það þótti vandræðalegt að ekki væri hægt að reikna þetta heildi því að stofnfall er ekki fyrir hendi. Sporgert heildi er almennt heiti á heildi af gerðinni $$ \int R(t,\sqrt{P(t)})\,dt,
$$ þar sem $P(t)$ er margliða af stigi 3 eða 4 og $R(t,s)$ er rætt fall af tveimur breytum. (Setjið $t=\sin\theta$ í ummál sporbaugsins til að koma heildinu þar yfir á þetta form.) Legendre rannsakaði sporger heildi í 40 ár. Hann sýndi meðal annars að nóg væri að skoða þrjú staðalform til þess að reikna út öll sporger heildi.
Legendre leit alltaf á sporger heildi sem ráðgátu á sviði heildunartækni. Það var hins vegar annmarki á hugsun hans. Þegar Legendre var gamall maður hitti hann hinn unga Niels Henrik Abel í París sem hafði sýnt að rétta leiðin til að athuga sporger heildi væri að skrifa $$ x = \int_0^y R\big(t,\sqrt{P(t)}\,\big)\,dt $$ og líta á $y$ sem fall af $x$ (sömu niðurstöðu fékk þýski stærðfræðingurinn Jacobi óháð Abel). Þannig urðu til sporger föll en með tilkomu þeirra varð mjög rík þróun á mörgum sviðum stærðfræðinnar. Legendre hrósaði unga Norðmanninum mjög jafnvel þótt hann hafi gert sér grein fyrir að uppgötvanir Abels myndu að öllum líkindum valda því að hans eigin verk um sporger heildi féllu í gleymsku. Bréfaskipti Legendres við Jacobi bera vott um mikið örlæti hins aldraða stærðfræðings í garð unga snillingsins. Stuttu áður en hann lést skrifaði hann þriðja bindi verksins Traité des fonctions elliptiques til að fjalla um uppgötvanir Abels og Jacobis.
Talnafræði. Legendre gaf fyrstur stærðfræðinga út aðferð minnstu ferninga (e. least squares method), en þýski stærðfræðingurinn Gauss hafði þegar notað hana. Legendre setti einnig fram tilgátuna um ferningsgagnkvæmni (e. quadratic reciprocity) og hann gerði margar tilraunir til að sanna hana, en alltaf var gloppa í röksemdafærslunni. Hann leiddi inn Legendre-táknið $\left(\frac pq\right)$ sem er þannig að, séu $p$ og $q$ ólíkar oddatölufrumtölur, þá er $$\left(\frac pq\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1,\quad &\hbox{ef } p^{\frac{q-1}{2}}\equiv 1\;(\hbox{mod } q)\\ -1,\quad &\hbox{ef } p^{\frac{q-1}{2}}\equiv -1\;(\hbox{mod } q).\end{array}\right.$$ Lögmálið um ferningsgagnkvæmni jafngildir reglunni $$\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}.$$ Gauss benti á galla í tilraunum Legendres til að sanna þessa tilgátu, og gaf sjálfur út fyrstu fullkomnu sönnunina 1801, sem Legendre notaði í síðustu útgáfu á bók sinni um talnafræði. Gauss sannaði hana síðar samtals á átta vegu.
Eins og margir velti Legendre fyrir sér síðustu setningu Fermats, en hún var tilgáta fram til ársins 1995 þegar breski stærðfræðingurinn Andrew John Wiles sannaði hana. Legendre tókst að sýna að engar heiltölulausnir væru til á $x^5+y^5=z^5$, og það sama gerði þýski stærðfræðingurinn Dirichlet um svipað leyti. Legendre setti jafnframt fram fræga tilgátu um dreifingu frumtalna sem segir að fjöldi frumtalna lægri en $n$ sé um það bil $n/\ln n$. Tilgátan var loks sönnuð 100 árum seinna af franska stærðfræðingnum Hadamard og belgíska stærðfræðingnum de la Vallée Poussin.
Bækur. Legendre skrifaði áhrifamiklar bækur sem hvöttu mjög næstu kynslóð stærðfræðinga. Sérstaklega má nefna bók hans um rúmfræði sem var notuð sem kennslubók næstu 100 árin, þó hann hafi eytt mikilli orku í misheppnaðar tilraunir til að sanna frumsendu Evklíðs um samsíða línur. Í bókinni er einföld sönnun þess að $\pi$ (pí) sé óræð (áður sannað af svissneska stærðfræðingnum Lambert) og sönnun þess að $\pi^2$ sé óræð. Legendre setti jafnframt fram tilgátu um að $\pi$ sé torræð (ekki rót á margliðujöfnu með heiltölustuðlum), sem var seinna sönnuð af franska stærðfræðingnum Hermite.
Bók Legendres um talnafræði varð mörgum innblástur. Auk atriða sem fjallað var um hér að ofan setti hann í henni fram tilgátu um tilvist óendanlega margra frumtalna í jafnmunarunum, sem Dirichlet sannaði seinna.
Heimildir og frekara lesefni:
Ball, W.W.R. (2010). A Short Account of the History of Mathematics. New York: Dover Publications Inc.
Bell, E.T. (1986). Men of Mathematics. New York: Touchstone.
Robert Magnus. „Hver var Adrien-Marie Legendre og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn, 6. júní 2011. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=59899.
Robert Magnus. (2011, 6. júní). Hver var Adrien-Marie Legendre og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=59899
Robert Magnus. „Hver var Adrien-Marie Legendre og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?“ Vísindavefurinn. 6. jún. 2011. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=59899>.
Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.
Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar
um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að
svara öllum spurningum.
Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að
svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki
nægileg deili á sér.
Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.
Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!
Sólin
Rís 05:36 • sest 21:19
Tunglið
Rís 16:44 • Sest 05:50
Flóð
Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05
Fjara
Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09
Allir þrír fengust fyrst og fremst við hagnýtta stærðfræði, eins og hún er kölluð nú á dögum, en það er stærðfræði sem var sköpuð til að leysa verkefni í eðlisfræði og öðrum vísindagreinum. Í hagnýttri stærðfræði eru örsmæðareikningur og stærðfræðileg verkefni sem spretta af honum, svo sem diffurjöfnur og hlutafleiðujöfnur, í fyrirrúmi. Örsmæðareikningur var skapaður til að auka skilning okkar á aflfræði, sér í lagi hreyfingu himintungla, og Frakkarnir þrír höfðu mikinn áhuga á honum. Jafnframt gerðu þeir uppgötvanir í hreinni stærðfræði, til dæmis í talnafræði. Það er því engin tilviljun að nöfn þessara manna eru vel kunnug nemendum í stærðfræði, eðlisfræði og verkfræði nú á dögum, enda áttu þeir stóran þátt í að leggja grunninn að hagnýttri stærðfræði nútímans og mörg hugtök eru kennd við þá. Nafn gígsins Legendre á tunglinu er honum til heiðurs, auk nöfn tveggja gatna í París.
Skoðum nokkur dæmi um framlag Legendres til stærðfræðinnar. Við munum sjá að hann kom víða við, en margt sem hann tók sér fyrir hendur var fullkomnað af öðrum.
Legendre-jafnan og Legendre-margliðurnar. Legendre-jafnan er annars stigs diffurjafnan $$ (1-x^2)y''-2xy'+\lambda y=0 $$ og Legendre-margliðurnar eru sérstakar lausnir hennar. Nánar tiltekið er Legendre-margliðan $P_l(x)$ af stigi $l$ lausn diffurjöfnunnar í tilfellinu að $\lambda=l(l+1)$, sú eina sem er takmörkuð á bilinu $-1 \lt x \lt 1$ burtséð frá margföldun með fasta. Nemendur hagnýttrar stærðfræði kynnast Legendre-jöfnunni þegar Laplace-jafnan $$ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0 $$ er leyst í kúlu með aðferð sem kallast aðskilnaður breytistærða. Mætti þyngdarsviðs í tómu rúmi er lausn á Laplace-jöfnunni. Í verkum Legendres koma Legendre-margliðurnar fram í röð af greinum um aðdráttarkraft sporvalna (e. ellipsoid) og form fljótandi hnatta.
Legendre-ummyndun (e. Legendre transform). Látum $f(x)$ vera kúpt fall af raunbreytu $x$. Kúpt þýðir hér að önnur afleiðan $f''$ er jákvæð alls staðar. Fyrir sérhverja rauntölu $p$ getum við reynt að leysa jöfnuna $$ f'(x)=p, $$ og vegna þess að $f$ er kúpt er lausnin ótvírætt ákvörðuð ef hún er til. Köllum lausnina $x(p)$. Fyrir öll slík $p$ myndum við $$ px-f(x) $$ og setjum $x(p)$ í stað $x$. Útkoman er fall $F(p)$ af $p$, sem er Legendre-ummynd fallsins $f(x)$. Við getum líka lýst henni á þennan hátt: $$ F(p)=\sup_x \big(px-f(x)\big). $$ Ef við reiknum út Legendre-ummynd fallsins $F(p)$ kemur í ljós að hún er aftur fallið $f(x)$ sjálft.
Legendre-ummyndun er mikilvægt fræðilegt tól í aflfræði. Hún myndar tengsl milli Lagrange-fallsins $L(\dot q,q)$ og Hamilton-fallsins $H(p,q)$ fyrir hreyfikerfi. Yfirleitt er Lagrange-fallið kúpt fall af hröðunum $\dot q$ og Legendre-ummynd þess með tilliti til $\dot q$ (fyrir hvert $q$) er einmitt Hamilton-fallið $H(p,q)$. Breytan $p$ er hér skriðþungi. Önnur hagnýting á Legendre-ummyndun varðar tengsl milli hinna mismunandi mættisfalla varmafræðinnar.
Sporger heildi (e. elliptic integrals). Ummál sporbaugs (e. ellipse) með hálfan langás $a$ og hringvik $e$ er heildið $$ a\int_0^{2\pi} (1-e^2\sin^2\theta)^{1/2}\,d\theta. $$ Það þótti vandræðalegt að ekki væri hægt að reikna þetta heildi því að stofnfall er ekki fyrir hendi. Sporgert heildi er almennt heiti á heildi af gerðinni $$ \int R(t,\sqrt{P(t)})\,dt,
$$ þar sem $P(t)$ er margliða af stigi 3 eða 4 og $R(t,s)$ er rætt fall af tveimur breytum. (Setjið $t=\sin\theta$ í ummál sporbaugsins til að koma heildinu þar yfir á þetta form.) Legendre rannsakaði sporger heildi í 40 ár. Hann sýndi meðal annars að nóg væri að skoða þrjú staðalform til þess að reikna út öll sporger heildi.
Legendre leit alltaf á sporger heildi sem ráðgátu á sviði heildunartækni. Það var hins vegar annmarki á hugsun hans. Þegar Legendre var gamall maður hitti hann hinn unga Niels Henrik Abel í París sem hafði sýnt að rétta leiðin til að athuga sporger heildi væri að skrifa $$ x = \int_0^y R\big(t,\sqrt{P(t)}\,\big)\,dt $$ og líta á $y$ sem fall af $x$ (sömu niðurstöðu fékk þýski stærðfræðingurinn Jacobi óháð Abel). Þannig urðu til sporger föll en með tilkomu þeirra varð mjög rík þróun á mörgum sviðum stærðfræðinnar. Legendre hrósaði unga Norðmanninum mjög jafnvel þótt hann hafi gert sér grein fyrir að uppgötvanir Abels myndu að öllum líkindum valda því að hans eigin verk um sporger heildi féllu í gleymsku. Bréfaskipti Legendres við Jacobi bera vott um mikið örlæti hins aldraða stærðfræðings í garð unga snillingsins. Stuttu áður en hann lést skrifaði hann þriðja bindi verksins Traité des fonctions elliptiques til að fjalla um uppgötvanir Abels og Jacobis.
Talnafræði. Legendre gaf fyrstur stærðfræðinga út aðferð minnstu ferninga (e. least squares method), en þýski stærðfræðingurinn Gauss hafði þegar notað hana. Legendre setti einnig fram tilgátuna um ferningsgagnkvæmni (e. quadratic reciprocity) og hann gerði margar tilraunir til að sanna hana, en alltaf var gloppa í röksemdafærslunni. Hann leiddi inn Legendre-táknið $\left(\frac pq\right)$ sem er þannig að, séu $p$ og $q$ ólíkar oddatölufrumtölur, þá er $$\left(\frac pq\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1,\quad &\hbox{ef } p^{\frac{q-1}{2}}\equiv 1\;(\hbox{mod } q)\\ -1,\quad &\hbox{ef } p^{\frac{q-1}{2}}\equiv -1\;(\hbox{mod } q).\end{array}\right.$$ Lögmálið um ferningsgagnkvæmni jafngildir reglunni $$\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}.$$ Gauss benti á galla í tilraunum Legendres til að sanna þessa tilgátu, og gaf sjálfur út fyrstu fullkomnu sönnunina 1801, sem Legendre notaði í síðustu útgáfu á bók sinni um talnafræði. Gauss sannaði hana síðar samtals á átta vegu.
Eins og margir velti Legendre fyrir sér síðustu setningu Fermats, en hún var tilgáta fram til ársins 1995 þegar breski stærðfræðingurinn Andrew John Wiles sannaði hana. Legendre tókst að sýna að engar heiltölulausnir væru til á $x^5+y^5=z^5$, og það sama gerði þýski stærðfræðingurinn Dirichlet um svipað leyti. Legendre setti jafnframt fram fræga tilgátu um dreifingu frumtalna sem segir að fjöldi frumtalna lægri en $n$ sé um það bil $n/\ln n$. Tilgátan var loks sönnuð 100 árum seinna af franska stærðfræðingnum Hadamard og belgíska stærðfræðingnum de la Vallée Poussin.
Bækur. Legendre skrifaði áhrifamiklar bækur sem hvöttu mjög næstu kynslóð stærðfræðinga. Sérstaklega má nefna bók hans um rúmfræði sem var notuð sem kennslubók næstu 100 árin, þó hann hafi eytt mikilli orku í misheppnaðar tilraunir til að sanna frumsendu Evklíðs um samsíða línur. Í bókinni er einföld sönnun þess að $\pi$ (pí) sé óræð (áður sannað af svissneska stærðfræðingnum Lambert) og sönnun þess að $\pi^2$ sé óræð. Legendre setti jafnframt fram tilgátu um að $\pi$ sé torræð (ekki rót á margliðujöfnu með heiltölustuðlum), sem var seinna sönnuð af franska stærðfræðingnum Hermite.
Bók Legendres um talnafræði varð mörgum innblástur. Auk atriða sem fjallað var um hér að ofan setti hann í henni fram tilgátu um tilvist óendanlega margra frumtalna í jafnmunarunum, sem Dirichlet sannaði seinna.
Heimildir og frekara lesefni:
