Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Er hægt að sanna að 0,999... = 1 með venjulegum reikningsaðferðum?

Spyrjandi setur spurningu sína upphaflega fram sem hér segir:
Ég heyrði þessa skýringu á að 1 væri = 0,99.. óendanlega oft:
\(x = 0,99...\)

\(10x = 9,99...\)

\(10x - x = 9\) eða

\(9x = 9\)

\(x = 1\)
Er þetta rétt?
Spurningin vísar í svar Jóns Kr. Arasonar við spurningunni Er talan 0,9999999... = 1? og er lesandanum bent á að rifja það upp.

Svarið við spurningunni er já: Sönnunin eða rökfærslan sem spyrjandi lýsir er rétt. Í henni er beitt aðgerðum eins og margföldun og frádrætti sem eru góðar og gildar og hafa merkingu þó að stærðinni \(x\) sé lýst með óendanlegri röð.

Líta má á tugabrotið \(x = 0,9999...\) sem kvótaröð sem svo er kölluð. Það sést glöggt ef við skrifum \[x=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...+\frac{9}{10^{n}}+...\]\[=\frac{9}{10}[1+(\frac{1}{10})+(\frac{1}{10})^{2}+...+(\frac{1}{10})^{n-1}+...]\] Röðina má skrifa í almennari mynd sem \[x=a_{0}[1+q+q^{2}+...+q^{n}+...]\] eða \[x=a_0\cdot\sum_{i=0}^{\infty}q^{i}\]en í okkar dæmi er þá \(a_{0}=\frac{9}{10}=0,9\) og \(q=\frac{1}{10}=0,1\). Svona kvótaraðir eru samleitnar sem kallað er (hafa tiltekið gildi) ef 0 < \(q\) < 1.

Við getum nú margfaldað kvótaröðina \(x\) með kvótanum \(q\). Fyrsti liðurinn í hornklofanum breytist þá úr 1 í \(q\), það er að segja í annan liðinn, annar liðurinn breytist í þriðja liðinn og svo framvegis. Með því að röðin er óendanleg jafngildir þetta því að fyrsti liðurinn hafi fallið niður og ekkert annað gerst. Við getum lýst þessu með jöfnunni \[q\cdot x=x-a_{0}\]Með því að leysa þetta fyrir \(x\) fáum við \[x=\frac{a_{0}}{1-q}\]Í upphaflega dæminu var \(a_{0}=0,9\) og \(q=0,1\) þannig að við fáum með þessari almennu aðferð að \(x=1\) eins og spyrjandi fékk líka.

Þess má geta að menn hafa glímt við þessi mál allar götur síðan á dögum Forngrikkja. Margir kannast líklega við þverstæðuna eða gátuna um Akkiles og skjaldbökuna en hún er náskyld svokallaðri þverstæðu Zenons sem fjallað er um í svari Ólafs Páls Jónssonar við spurningunni Er hægt að hugsa til enda að eitthvað sé endalaust?

Kjarni máls er sá að útkoma úr samlagningu getur verið endanleg tala þó að verið sé að leggja saman óendanlega margar tölur. Óendanlega tugabrotið 0,999... táknar einmitt í raun summu af óendanlega mörgum liðum en ef að er gáð kemur í ljós að summan er engu að síður jöfn endanlegu tölunni 1.

Höfundur þakkar Jóni Kr. Arasyni stærðfræðiprófessor yfirlestur og góðar ábendingar.



Mynd: HB

Útgáfudagur

21.3.2002

Spyrjandi

Ari Bjarnason

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að sanna að 0,999... = 1 með venjulegum reikningsaðferðum?“ Vísindavefurinn, 21. mars 2002. Sótt 16. desember 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=2224.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2002, 21. mars). Er hægt að sanna að 0,999... = 1 með venjulegum reikningsaðferðum? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=2224

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Er hægt að sanna að 0,999... = 1 með venjulegum reikningsaðferðum?“ Vísindavefurinn. 21. mar. 2002. Vefsíða. 16. des. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=2224>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Isabel Barrio

1983

Isabel Barrio er dósent við Landbúnaðarháskóla Íslands. Rannsóknir hennar hafa beinst að grasbítum og áhrifum þeirra á vistkerfin sem þau búa í.