Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir?

Reglurnar um veldisvísa í algebru eru byggðar upp skref fyrir skref með því að byrja til dæmis á því að skilgreina $x$ í öðru veldi:

$x^2=x\cdot x$

(Lesið: $x$ í öðru veldi er sama sem $x$ sinnum $x$ eða $x$ margfaldað með sjálfu sér)
Fyrir heilar plústölur $n$ skilgreinum við síðan

$x^n=x\cdot...\cdot x$ ($n$ sinnum)

(Lesið: $x$ í $n$-ta veldi er sama sem $x$ margfaldað með sjálfu sér $n$ sinnum)
Þá skoðum við margfeldið $x^n$ sinnum $x^m$:

$x^n\cdot x^m$

$=x\cdot...\cdot x$ ($n$ sinnum)$\cdot x\cdot...\cdot x$ ($m$ sinnum)

$=x\cdot...\cdot x$ ($n+m$ sinnum)

$=x^{n+m}$

Nú viljum við alhæfa þessa jöfnu þannig að hún gildi líka þegar $m=0$. Við fáum þá

$x^n\cdot x^0=x^{n+0}$
Við notum okkur að $n+0=n$:

$x^n\cdot x^0=x^n$

Ef $x$ er ekki $0$ hér má stytta $x^n$ út og við fáum það sem um var spurt:

$x^0=1$

Það er sem sé ekki alveg rétt sem fullyrt er í spurningunni að þetta gildi fyrir öll $x$, heldur gildir það aðeins ef $x$ er ekki $0$. Þegar $x=0$ er $x^0$ óskilgreint, svipað og $\frac{x}{0}$ eða $\frac{0}{0}$ sem margir kannast væntanlega við.

Á þennan hátt er hægt að halda áfram í skrefum og skilgreina til dæmis $x^{-n}$ þegar veldisvísirinn $-n$ er heil mínustala. Þannig fæst á mjög svipaðan hátt að eðlilegt sé að setja

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$
Svo má skilgreina $x^{\frac{n}{m}}$ þegar $n$ og $m$ eru heilar tölur. Veldisvísirinn $\frac{n}{m}$ er þá kallaður almennt brot. Og þannig gætum við haldið áfram.

Þessi fræði eru síðan undirstaða veldisvísisfallsins $e^x$ og lograns (lógaritmans) $log(x)$ eða $ln(x)$. Reglan um að $x^0=1$ endurspeglast til dæmis í því að $log(1) = 0$.

Útgáfudagur

19.4.2000

Spyrjandi

Arnar Sigurður Ellertsson, f. 1984

Höfundur

Þorsteinn Vilhjálmsson

prófessor emeritus, ritstjóri Vísindavefsins 2000-2010 og ritstjóri Evrópuvefsins 2011

Tilvísun

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir?“ Vísindavefurinn, 19. apríl 2000. Sótt 15. desember 2019. http://visindavefur.is/svar.php?id=353.

Þorsteinn Vilhjálmsson. (2000, 19. apríl). Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=353

Þorsteinn Vilhjálmsson. „Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir?“ Vísindavefurinn. 19. apr. 2000. Vefsíða. 15. des. 2019. <http://visindavefur.is/svar.php?id=353>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Eyjólfur Ingi Ásgeirsson

1974

Eyjólfur Ingi Ásgeirsson er dósent við Tækni- og verkfræðideild Háskólans í Reykjavík. Rannsóknir hans eru á sviði aðgerðarannsókna með áherslu á bestun, hermun og reiknirit.