Sólin Sólin Rís 10:41 • sest 15:51 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:52 • Sest 09:11 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 05:49 • Síðdegis: 18:04 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 12:02 • Síðdegis: 24:09 í Reykjavík

Hver fann upp á því að reikna rúmmál og ummál?

Kristín Bjarnadóttir

Talið er að Egyptar hafa verið farnir að reikna flatarmál hrings og rúmmál píramída og sívalnings fyrir næstum 4000 árum. Til er handrit frá um 1650 f.Kr. sem kallast Rhind-papýrus og er talið endurrit af um 200 ára eldra handriti. Þar er að finna dæmi um rúmmál sívalnings sem byggist á að flatarmál hrings hafi verið áætlað. Fleiri handrit eru til með stærðfræðidæmum, til dæmis Moskvu-papýrusinn sem er talinn eldri en Rhind-papýrusinn. Hann er varðveittur í Moskvu en Rhind-papýrusinn í London.

Rhind-papýrusinn geymir 84 stærðfræðidæmi. Rautt blek markar heiti dæmisins eða svar við því.

Í rúmfræðihluta Rhind-papýrussins eru mörg dæmi sem fjalla um korn, geymslu á korni og nýtingu þess. Þar segir til dæmis að úr einu hekati af hveiti megi gera um 80 brauðhleifa. Hekat er rúmmálseining sem samsvarar um 4,8 lítrum.

Dæmin hafa verið númeruð eftir því hvar þau er að finna á papýrusnum. Dæmi 41–46 sýna hvernig rúmmál korngeyma er reiknað, bæði sívalra geyma og rétthyrndra. Dæmi nr. 41 gefur formúlu fyrir rúmmáli sívalnings:

$V = (1 – 1/9)d^2h$ þar sem $V$ er rúmmál, $d$ er þvermál og $h$ er hæð sívalningsins.

Ef formúlan er umrituð með $d = 2r$, þar sem $r$ er radíi, og einfölduð, fæst

$$V = (256/81)r^2h$$

Formúlan fyrir rúmmál sívalnings er venjulega rituð $V= π r^2h$. Við samanburð má sjá að brotið $256/81 ≈ 3,1605 $ er notað fyrir $π$, hlutfallið milli ummáls og þvermáls. Það er góð nálgun með innan við 1% skekkju.

Í dæmi 48 í Rhind-papýrusnum kemur fram að flatarmál hrings hafi verið reiknað með því að nálga það að flatarmáli átthyrnings, svipað því sem má sjá á mynd.

Til vinstri, mynd með dæmi 48 í Rhind-papýrusnum en í því dæmi kemur fram að flatarmál hrings hafi verið reiknað með því að nálga það að flatarmáli átthyrnings.

Moskvu-papýrusinn varðveitir skemmtilegt dæmi um rúmmál píramída sem skorið hefur verið ofan af. Dæmin um sívalninginn og skorna píramídann sýna að Egyptar hafa haft vald á háþróaðri stærðfræði mörgum öldum fyrir okkar tímatal.

Minna er vitað um reikninga á ummáli. Vafalaust hafa menn samt þurft að mæla og jafnvel reikna ummál reita sem þurfti að girða. Forn-Egyptar þekktu formúlu fyrir flatarmáli hrings og gildi á π. Þaðan er stutt yfir í formúlu fyrir ummál hrings. Hugsanlega má lesa ummál hrings úr dæmi 10 í Moskvu-papýrusnum þar sem hlutfallið $π$ milli ummáls og flatarmáls virðist vera $256/81$, en handritið er að hluta til skemmt svo að það er að nokkru byggt á ágiskun. Í öðrum heimildum um ummál sívalningslaga súlna virðist svo sem að þar hafi hlutfallið milli ummáls og þvermáls súlu verið talið $22/7$ (Cooper, 2011).

(Sótt 19.10.2020).

Heimildir og myndir:

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

19.10.2020

Spyrjandi

Gunnlaugur Björn Guðmundsson

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hver fann upp á því að reikna rúmmál og ummál?“ Vísindavefurinn, 19. október 2020. Sótt 29. nóvember 2020. http://visindavefur.is/svar.php?id=68717.

Kristín Bjarnadóttir. (2020, 19. október). Hver fann upp á því að reikna rúmmál og ummál? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=68717

Kristín Bjarnadóttir. „Hver fann upp á því að reikna rúmmál og ummál?“ Vísindavefurinn. 19. okt. 2020. Vefsíða. 29. nóv. 2020. <http://visindavefur.is/svar.php?id=68717>.

Chicago | APA | MLA

Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hver fann upp á því að reikna rúmmál og ummál?
Talið er að Egyptar hafa verið farnir að reikna flatarmál hrings og rúmmál píramída og sívalnings fyrir næstum 4000 árum. Til er handrit frá um 1650 f.Kr. sem kallast Rhind-papýrus og er talið endurrit af um 200 ára eldra handriti. Þar er að finna dæmi um rúmmál sívalnings sem byggist á að flatarmál hrings hafi verið áætlað. Fleiri handrit eru til með stærðfræðidæmum, til dæmis Moskvu-papýrusinn sem er talinn eldri en Rhind-papýrusinn. Hann er varðveittur í Moskvu en Rhind-papýrusinn í London.

Rhind-papýrusinn geymir 84 stærðfræðidæmi. Rautt blek markar heiti dæmisins eða svar við því.

Í rúmfræðihluta Rhind-papýrussins eru mörg dæmi sem fjalla um korn, geymslu á korni og nýtingu þess. Þar segir til dæmis að úr einu hekati af hveiti megi gera um 80 brauðhleifa. Hekat er rúmmálseining sem samsvarar um 4,8 lítrum.

Dæmin hafa verið númeruð eftir því hvar þau er að finna á papýrusnum. Dæmi 41–46 sýna hvernig rúmmál korngeyma er reiknað, bæði sívalra geyma og rétthyrndra. Dæmi nr. 41 gefur formúlu fyrir rúmmáli sívalnings:

$V = (1 – 1/9)d^2h$ þar sem $V$ er rúmmál, $d$ er þvermál og $h$ er hæð sívalningsins.

Ef formúlan er umrituð með $d = 2r$, þar sem $r$ er radíi, og einfölduð, fæst

$$V = (256/81)r^2h$$

Formúlan fyrir rúmmál sívalnings er venjulega rituð $V= π r^2h$. Við samanburð má sjá að brotið $256/81 ≈ 3,1605 $ er notað fyrir $π$, hlutfallið milli ummáls og þvermáls. Það er góð nálgun með innan við 1% skekkju.

Í dæmi 48 í Rhind-papýrusnum kemur fram að flatarmál hrings hafi verið reiknað með því að nálga það að flatarmáli átthyrnings, svipað því sem má sjá á mynd.

Til vinstri, mynd með dæmi 48 í Rhind-papýrusnum en í því dæmi kemur fram að flatarmál hrings hafi verið reiknað með því að nálga það að flatarmáli átthyrnings.

Moskvu-papýrusinn varðveitir skemmtilegt dæmi um rúmmál píramída sem skorið hefur verið ofan af. Dæmin um sívalninginn og skorna píramídann sýna að Egyptar hafa haft vald á háþróaðri stærðfræði mörgum öldum fyrir okkar tímatal.

Minna er vitað um reikninga á ummáli. Vafalaust hafa menn samt þurft að mæla og jafnvel reikna ummál reita sem þurfti að girða. Forn-Egyptar þekktu formúlu fyrir flatarmáli hrings og gildi á π. Þaðan er stutt yfir í formúlu fyrir ummál hrings. Hugsanlega má lesa ummál hrings úr dæmi 10 í Moskvu-papýrusnum þar sem hlutfallið $π$ milli ummáls og flatarmáls virðist vera $256/81$, en handritið er að hluta til skemmt svo að það er að nokkru byggt á ágiskun. Í öðrum heimildum um ummál sívalningslaga súlna virðist svo sem að þar hafi hlutfallið milli ummáls og þvermáls súlu verið talið $22/7$ (Cooper, 2011).

(Sótt 19.10.2020).

Heimildir og myndir:

...