Sólin Sólin Rís 10:41 • sest 16:37 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 12:19 • Sest 01:29 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 11:24 • Síðdegis: 23:54 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 05:04 • Síðdegis: 17:40 í Reykjavík

Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?

Kristín Bjarnadóttir

Talan $\pi$, , er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Hún er stundum nefnd fasti Arkímedesar. Arkímedes (272–212 f.Kr.) beitti nákvæmum útreikningum til að finna gildi $\pi$. Hann notaði nálgunaraðferð með því að finna ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir. Aðferðinni var beitt í yfir 1000 ár.

Til þess að finna gildi $\pi$ notaði Arkímedes nálgunaraðferð með því að finna ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir.

Arkímedes reiknaði efri og neðri mörk $\pi$ með því að reikna ummál reglulegra sexhyrninga innan í og utan um hring og tvöfalda síðan fjölda hliðanna þar til hliðarnar voru orðnar 96. Arkímedes sýndi fram á að gildi $\pi$ lægi á bili milli tveggja brota: 223/71 < $\pi$ < 22/7. Tugabrot voru þá ekki komin til sögunnar en þetta jafngildir að $\pi$ sé á bilinu 3,1408 < $\pi$ < 3,1429. Þá eru þrír tölustafir réttir. Brotið 22/7 var gjarnan notað í kennslubókum fram að öld vasareikna. Um árið 480 e.Kr. náði kínverski stærðfræðingurinn Zu Chongzhi sjö réttum tölustöfum með 12.288-hliða marghyrningum. Það var nákvæmasta gildið á $\pi$ sem þekkt var næstu 800 árin.

Stærðfræðingar, sem beittu marghyrningaaðferðinni, náðu 39 tölustöfum í $\pi$ árið 1630. Fjöldi hliða í marghyrningunum var 1040. Það er mesta nákvæmni sem náðst hefur með þeirri aðferð, reiknað án reiknivéla. Árið 1699 náðist 71 tölustafur með óendanlegum röðum.

Pí með „nokkrum” aukastöfum.

Bylting varð þegar tekið var að nota óendanlegar raðir, bæði liðastærðir og margfeldi. Fyrsta óendanlega röðin sem fundin var í Evrópu var margfeldi. Hana fann franski stærðfræðingurinn François Viète árið 1593:

$${2 \over \pi} = {\sqrt{2}\over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt 2} \over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt 2}} \over 2} \cdots $$

John Wallis fann aðra óendanlega röð margfelda árið 1655:

$${\pi \over 2} = \left({2\over 1} \cdot {2 \over 3}\right) \cdot \left({4\over 3} \cdot {4 \over 5}\right) \cdot \left({6\over 5} \cdot {6 \over 7}\right) \cdot \left({8\over 7} \cdot {8 \over 9}\right)\cdots$$

Einföld röð af liðastærðum frá um 1674 er kennd við Gregory–Leibniz:

$${\pi} = {4\over 1} - {4 \over 3}+{4\over 5} - {4 \over 7}+{4\over 9} - {4 \over 11}+{4\over 13} -\cdots$$

Gallinn við Gregory–Leibniz-röðina er að samleitni hennar er mjög hæg. Gildi samanlagðra liða liggja til skiptist ofan og neðan við $\pi$. Reikna þarf mjög marga liði til að nálgast betri gildi en með marghyrningaaðferðinni. Indverjinn Nilakantha fann á 15. öld röð sem finnur tölustafi $\pi$ mun hraðar. Upplýsingar bárust þá hægt milli heimshluta.

$${\pi} = 3 + {4\over 2\times3\times4} - {4 \over 4 \times 5 \times 6}+{4\over 6 \times 7 \times 8} - {4 \over 8 \times 9 \times 10}+ \cdots$$

Hraðvirk reiknirit fóru að koma fram árið 1914 þegar indverski stærðfræðingurinn Srinivasa Ramanujan birti tugi af nýjum formúlum fyrir $\pi$. Þær voru aðdáunarverðar fyrir glæsileika, stærðfræðilega dýpt og hraða samleitni. Ein formúla hans er þessi:

$${1 \over \pi} = {2\sqrt{2}\over 9801} \sum _{k=0}^{\infty} {{(4k)!(1103+26390k)} \over {{k!^4(396^{4k})}}} $$

Bylting varð þegar tölvur komu til sögunnar um miðja tuttugustu öld. Þær gátu reiknað fjölda tölustafa mjög hratt. Bill Gosper, sem var fyrstur til að nota formúlu Ramanujans til að þoka áfram leitinni að tölustöfum $\pi$, setti met með 17 milljónum tölustafa árið 1985. Formúla Chudnovsky-bræðra varð til út frá formúlu Ramanujans árið 1987:

$${1 \over \pi} = {12\over 640320^{3/2}} \sum _{k=0}^{\infty} {{(6k)!(13591409+545140134k)} \over {(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}} $$

Hver liður formúlunnar gefur 14 tölustafi $\pi$ og hún hefur verið notuð til að setja nokkur met í $\pi$–reikningum, meðal annars að fara yfir 1 milljarð (109) tölustafa árið 1989, 2,7 billjónir (2,7×1012) stafa árið 2009, 10 billjónir (1013) stafa árið 2011, yfir 22 billjónir stafa árið 2016 og yfir 50 billjónir árið 2020.

Heimild og myndir:

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

25.11.2020

Spyrjandi

Alexander Gunnar Kristjánsson

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?“ Vísindavefurinn, 25. nóvember 2020. Sótt 20. janúar 2021. http://visindavefur.is/svar.php?id=71214.

Kristín Bjarnadóttir. (2020, 25. nóvember). Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=71214

Kristín Bjarnadóttir. „Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?“ Vísindavefurinn. 25. nóv. 2020. Vefsíða. 20. jan. 2021. <http://visindavefur.is/svar.php?id=71214>.

Chicago | APA | MLA

Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?
Talan $\pi$, , er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Hún er stundum nefnd fasti Arkímedesar. Arkímedes (272–212 f.Kr.) beitti nákvæmum útreikningum til að finna gildi $\pi$. Hann notaði nálgunaraðferð með því að finna ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir. Aðferðinni var beitt í yfir 1000 ár.

Til þess að finna gildi $\pi$ notaði Arkímedes nálgunaraðferð með því að finna ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir.

Arkímedes reiknaði efri og neðri mörk $\pi$ með því að reikna ummál reglulegra sexhyrninga innan í og utan um hring og tvöfalda síðan fjölda hliðanna þar til hliðarnar voru orðnar 96. Arkímedes sýndi fram á að gildi $\pi$ lægi á bili milli tveggja brota: 223/71 < $\pi$ < 22/7. Tugabrot voru þá ekki komin til sögunnar en þetta jafngildir að $\pi$ sé á bilinu 3,1408 < $\pi$ < 3,1429. Þá eru þrír tölustafir réttir. Brotið 22/7 var gjarnan notað í kennslubókum fram að öld vasareikna. Um árið 480 e.Kr. náði kínverski stærðfræðingurinn Zu Chongzhi sjö réttum tölustöfum með 12.288-hliða marghyrningum. Það var nákvæmasta gildið á $\pi$ sem þekkt var næstu 800 árin.

Stærðfræðingar, sem beittu marghyrningaaðferðinni, náðu 39 tölustöfum í $\pi$ árið 1630. Fjöldi hliða í marghyrningunum var 1040. Það er mesta nákvæmni sem náðst hefur með þeirri aðferð, reiknað án reiknivéla. Árið 1699 náðist 71 tölustafur með óendanlegum röðum.

Pí með „nokkrum” aukastöfum.

Bylting varð þegar tekið var að nota óendanlegar raðir, bæði liðastærðir og margfeldi. Fyrsta óendanlega röðin sem fundin var í Evrópu var margfeldi. Hana fann franski stærðfræðingurinn François Viète árið 1593:

$${2 \over \pi} = {\sqrt{2}\over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt 2} \over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt 2}} \over 2} \cdots $$

John Wallis fann aðra óendanlega röð margfelda árið 1655:

$${\pi \over 2} = \left({2\over 1} \cdot {2 \over 3}\right) \cdot \left({4\over 3} \cdot {4 \over 5}\right) \cdot \left({6\over 5} \cdot {6 \over 7}\right) \cdot \left({8\over 7} \cdot {8 \over 9}\right)\cdots$$

Einföld röð af liðastærðum frá um 1674 er kennd við Gregory–Leibniz:

$${\pi} = {4\over 1} - {4 \over 3}+{4\over 5} - {4 \over 7}+{4\over 9} - {4 \over 11}+{4\over 13} -\cdots$$

Gallinn við Gregory–Leibniz-röðina er að samleitni hennar er mjög hæg. Gildi samanlagðra liða liggja til skiptist ofan og neðan við $\pi$. Reikna þarf mjög marga liði til að nálgast betri gildi en með marghyrningaaðferðinni. Indverjinn Nilakantha fann á 15. öld röð sem finnur tölustafi $\pi$ mun hraðar. Upplýsingar bárust þá hægt milli heimshluta.

$${\pi} = 3 + {4\over 2\times3\times4} - {4 \over 4 \times 5 \times 6}+{4\over 6 \times 7 \times 8} - {4 \over 8 \times 9 \times 10}+ \cdots$$

Hraðvirk reiknirit fóru að koma fram árið 1914 þegar indverski stærðfræðingurinn Srinivasa Ramanujan birti tugi af nýjum formúlum fyrir $\pi$. Þær voru aðdáunarverðar fyrir glæsileika, stærðfræðilega dýpt og hraða samleitni. Ein formúla hans er þessi:

$${1 \over \pi} = {2\sqrt{2}\over 9801} \sum _{k=0}^{\infty} {{(4k)!(1103+26390k)} \over {{k!^4(396^{4k})}}} $$

Bylting varð þegar tölvur komu til sögunnar um miðja tuttugustu öld. Þær gátu reiknað fjölda tölustafa mjög hratt. Bill Gosper, sem var fyrstur til að nota formúlu Ramanujans til að þoka áfram leitinni að tölustöfum $\pi$, setti met með 17 milljónum tölustafa árið 1985. Formúla Chudnovsky-bræðra varð til út frá formúlu Ramanujans árið 1987:

$${1 \over \pi} = {12\over 640320^{3/2}} \sum _{k=0}^{\infty} {{(6k)!(13591409+545140134k)} \over {(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}} $$

Hver liður formúlunnar gefur 14 tölustafi $\pi$ og hún hefur verið notuð til að setja nokkur met í $\pi$–reikningum, meðal annars að fara yfir 1 milljarð (109) tölustafa árið 1989, 2,7 billjónir (2,7×1012) stafa árið 2009, 10 billjónir (1013) stafa árið 2011, yfir 22 billjónir stafa árið 2016 og yfir 50 billjónir árið 2020.

Heimild og myndir:

...