Hvað er reglulegur hyrningur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er reglulegur hyrningur?
Áður hefur verið fjallað um hyrninga á Vísindavefnum í svari sama höfundar við spurningunni Ef tvíhyrningar eru ekki til í venjulegri rúmfræði, hvað kallast þá ferhyrningur sem búið er að fjarlægja eina hlið af? Þar eru þeir skilgreindir svona:

Segjum að við höfum þrjá eða fleiri punkta sem liggja í sama slétta fletinum. Látum $n$ tákna fjölda punktanna og tölusetjum þá frá 1 og upp í $n$.

Teiknum nú strik frá fyrsta til annars punktsins, frá öðrum til þriðja punktsins, og svo koll af kolli. Endum á að teikna strik frá síðasta punktinum til fyrsta punktsins.

Á þennan hátt verður til form sem samsett er úr $n$ strikum sem mynda $n$ horn. Þetta form kallast hyrningur eða marghyrningur. Strikin kallast hliðar hyrningsins og endapunktar þeirra kallast hornpunktar hans.

Hugtökin þríhyrningur, ferhyrningur, fimmhyrningur, sexhyrningur, og svo framvegis, eru síðan skilgreind á augljósan hátt.

Við þessa umfjöllun má nú bæta að reglulegur hyrningur er hyrningur þar sem allar hliðar eru jafnlangar og öll horn eru jafnstór. Á myndinni að neðan gefur að líta tvo slíka hyrninga; annars vegar reglulegan fimmhyrning og hins vegar reglulegan átthyrning.

Reglulegir þríhyrningar eru reyndar oftar kallaðir jafnhliða þríhyrningar og reglulegir ferhyrningar eru oftar kallaðir ferningar.

Formið til vinstri er jafnhliða þríhyrningur og formið til hægri er ferningur.

Þríhyrningar eru sérstakir að því leyti að ef þeir hafa annaðhvort allar hliðar jafnlangar eða öll hornin jafnstór, þá eru þeir reglulegir. Með öðrum orðum er ekki hægt að teikna þríhyrning með allar hliðar jafnlangar án þess að öll hornin verði jafnstór og sömuleiðis er ekki hægt að teikna þríhyrning með öll hornin jafnstór án þess að allar hliðar verði jafnlangar.

Það sama gildir ekki um aðra hyrninga, eins og myndin að neðan leiðir í ljós. Hún sýnir annars vegar ferhyrning þar sem allar hliðar eru jafnlangar og hins vegar ferhyrning þar sem öll hornin eru jafnstór, en hvorugur þeirra er reglulegur.

Í venjulegri rúmfræði er þekkt sú regla að hornasumma hyrnings með $n$ hliðar fæst með eftirfarandi formúlu:

\[(n-2) \cdot 180°.\]

Þar sem öll horn í reglulegum hyrningi eru jafnstór þýðir þetta að stærð hvers horns í slíkum hyrningi fæst á eftirfarandi hátt:

\[\frac{(n-2) \cdot 180°}n,\] þar sem $n$ er fjöldi hliða. Til dæmis hefur þetta í för með sér að stærð hvers horns í reglulegum átthyrningi er

\[\frac{(8-2) \cdot 180°}8 = 135°.\] eins og kom fram á efstu myndinni í svarinu.

Allt frá dögum Forn-Grikkja veltu stærðfræðingar fyrir sér hvernig hægt væri að teikna reglulega hyrninga með því að nota aðeins hringfara og reglustiku. Í upphafi 19. aldar sýndi þýski stærðfræðingurinn Carl Friedrich Gauss að þetta er aðeins hægt fyrir ákveðna hyrninga, eins og lesa má um í svari Stefáns Inga Valdimarssonar og Eyju Margrétar Brynjarsdóttur við spurningunni Er hægt að teikna 19-hyrning með allar hliðar jafnlangar? Ef það er hægt, hvernig þá?

Myndir:

• Allar myndir voru teiknaðar af höfundi svarsins.

...