Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hefur tilgáta Riemanns verið sönnuð?

Náttúrleg tala stærri en 1, sem er einungis deilanleg með 1 og sjálfri sér, nefnist frumtala (prímtala). Náttúrleg tala stærri en 1 nefnist samsett tala, ef hún er ekki frumtalan. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Allt frá því sögur hófust hafa menn rannsakað þessar tölur. Í bókum Evklíðs (um 300 f.Kr.) er sannað að frumtölurnar séu óendanlega margar og að sérhverja samsetta tölu megi skrifa sem margfeldi frumtalna. Það hefur alltaf þótt áhugavert að vita hversu þétt frumtölurnar liggja meðal náttúrlegra talna. Þetta viðfangsefni má nálgast með ýmsum hætti. Til dæmis er hægt að númera frumtölurnar, p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, ... og spyrja síðan hversu hratt p_n vex með fjöldanum \(n\). Önnur leið er að líta á fjölda frumtalna neðan við gefna rauntölu \(x\) og meta síðan hversu hratt sá fjöldi vex með \(x\).

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) er einn af merkustu stærðfræðingum sögunnar. Árið 1859 skrifaði hann ritgerð sem nefndist Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse, sem átti eftir að valda straumhvörfum í talnafræði. Viðfangsefni greinarinnar var að meta fjölda frumtalna neðan við gefna rauntölu \(x\). Það er venja að tákna þennan fjölda með \(n(x)\) og nefna \(n\) frumtalnafall. Riemann skilgreindi fallið \(\zeta\), sem er kallað zeta-fall Riemanns honum til heiðurs, með formúlunni

\[\zeta (s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}\]

þar sem óendanlega margfeldið er tekið yfir allar frumtölur p, en þessi jafna er góð og gild fyrir allar tvinntölur s með raunhluta stærri en 1. Riemann sýndi fram á að hægt er að framlengja skilgreiningarsvæði fallsins \(\zeta\) yfir í allt tvinntöluplanið utan punktsins 1, þannig að það verði fágað. Út frá einni af formúlunum í ritgerð Riemanns sést að \(\zeta\) hefur núllstöðvar í punktunum -1, -2, -3, .... Tilgáta Riemanns segir að allar aðrar núllstöðvar fallsins \(\zeta\) hafi raunhlutann 1/2. Eftir því sem ritari þessara lína best veit hefur hún aldrei verið sönnuð.

Tilgáta Riemanns er ákaflega mikilvægt óleyst verkefni í stærðfræðinni. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) rannsakaði frumtalnafallið \(n(x)\) þegar á unglingsárum sínum og hann hafði komist að því að stærðirnar

\(x/log(x)\)     og     \(\int_{2}^{x}log(t)^{-1}dt\)

eru góðar nálganir á \(n(x)\), þar sem log táknar náttúrlega logrann. Um aldamótin 1800 var það alþekkt tilgáta meðal stærðfræðinga í Evrópu að hlutfallið milli \(n(x)\) og \(x/log(x)\) stefndi á 1, ef \(x\) stefnir á óendanlegt, og nefndist hún frumtalnatilgátan. Það var ekki fyrr en árið 1896 að tveir ungir menn sönnuðu að tilgátan væri rétt og það gerðu þeir óháð hvor öðrum nánast samtímis. Þeir hétu Jacques Hadamard (1865 - 1963) og Charles de la Vallée-Poussin (1866 - 1962). Sannanir þeirra byggðu á verkum Riemanns og snérust um mjög nákvæmt mat á \(\zeta\)-fallinu. Eftir þetta nefndist staðhæfingin frumtalnasetningin.

Ef tilgáta Riemanns reynist rétt, þá hefur hún í för með sér að skekkjan

\[\pi (x)-x/log(x)\] í nálguninni á \(n(x)\) með \(x\log(x)\) er í hlutfalli við \(x^{1/2+\varepsilon }\) fyrir sérhvert jákvætt \(\varepsilon\), en það eru miklu meiri upplýsingar en þær sem frumtalnasetningin gefur. Með nokkurri einföldun má segja að skekkjan sé þá í hlutfallið við kvaðratrótina af \(x\). Margir merkir stærðfræðingar hafa fengist við Riemann-tilgátuna og allar vísbendingar hníga í þá átt að hún sé rétt.

Mynd:

• Wikipedia - Riemann. Sótt 5. 7. 2011...