Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker?

Heildarfjöldi möguleika á að fá fimm spil á hendi í póker er

\[{52 \choose 5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2.598.960.\]

Hér táknar ${52 \choose 5}$ tvíliðustuðul, sem lesa má um í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er tvíliðustuðullinn C(n,k) og hvers vegna er fjöldi tvíundastrengja af lengd n með k ása einmitt C(n,k)?

Líkurnar á að fá tiltekna pókerhönd, eins og til dæmis par, tvö pör, þrennu og svo framvegis, má reikna með því að finna fyrst á hve marga vegu hægt er að fá viðkomandi hönd og deila þeirri tölu síðan með heildarfjölda möguleika á að fá fimm spil á hendi, sem er $2.598.960$ eins og kom fram hér að ofan. Með öðrum orðum má reikna líkurnar með eftirfarandi formúlu:

\[\text{Líkur á að fá hönd} = \frac{\text{Fjöldi möguleika á að fá hana}}{2.598.960}\]

Formúlan er einföld, en yfirleitt er hægara sagt en gert að finna fjölda möguleika á að fá tiltekna pókerhönd, og til þess þarf að hafa nokkra reynslu af talningarfræði. Sem dæmi verður nú sýnt hvernig hægt er að reikna fjölda möguleika á að fá par.

Hugsum okkur þá að við ætlum að velja fimm spil á hendi sem gefa par. Þá veljum við fyrst gildi parsins, það er hvort það á að vera ásapar, tvistapar, þristapar, fjarkapar og svo framvegis, en það getum við auðvitað gert á 13 vegu. Síðan veljum við sortir fyrir spilin tvö sem mynda parið, en það má gera á ${4 \choose 2}$ vegu, því spilin eru tvö og sortirnar eru fjórar.


Málverk frá 17. öld eftir Theodor Rombouts (1597-1637).

Þegar hér er komið sögu höfum við valið tvö spil á hendi og eigum þá eftir að velja hin þrjú. Þar sem við viljum aðeins enda með eitt par á hendi verðum við að gæta að því að þessi þrjú spil hafi þrjú ólík gildi. Við höfum alls úr 12 gildum að velja, því við megum auðvitað ekki velja sama gildi og við völdum fyrir spilin tvö í síðustu efnisgrein, svo gildi spilanna þriggja getum við valið á ${12 \choose 3}$ vegu. Loks getum við valið sortir þeirra á $4^3$ vegu, því spilin eru þrjú og fyrir sérhvert þeirra getum við valið sortina á fjóra vegu.

Ef við tökum talninguna úr síðustu tveimur efnisgreinum saman, þá sjáum við að heildarfjöldi möguleika á að fá par á hendi í fimm spila póker er:

\[13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3} \cdot 4^3 = 1.098.240.\]

Samkvæmt formúlunni að ofan er þá hægt að reikna líkurnar á að fá par á hendi svona:

\[\frac{1.098.240}{2.598.960} \approx 42,\!26\%.\]

Taflan hér að neðan sýnir líkurnar á að fá hverja og eina pókerhönd. Fyrir þá sem hafa áhuga á því er einnig sýnt hvernig hægt er að reikna fjölda möguleika á að fá viðkomandi hönd. Í flestum tilfellum er hugsunin bakvið útreikningana mjög svipuð hugsuninni bakvið útreikningana sem farið var í hér að ofan.

Hönd Fjöldi möguleika Líkur
Par $\displaystyle 13 \cdot {4 \choose 2} \cdot {12 \choose 3} \cdot 4^3 = 1.098.240$ $42,\!26\%$

Tvö pör $\displaystyle {13 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}^{\!\!2} \cdot 44 = 123.552$ $4,\!75\%$

Þrenna $\displaystyle 13 \cdot {4 \choose 3} \cdot {12 \choose 2} \cdot 4^2 = 54.912$ $2,\!11\%$

Röð $\displaystyle 10 \cdot 4^5 - 10 \cdot 4 = 10.200$ $0,\!39\%$

Litur $\displaystyle 4 \cdot {13 \choose 5}- 4 \cdot 10 = 5.108$ $0,\!20\%$

Fullt hús $\displaystyle {13 \choose 2} \cdot 2 \cdot {4 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} = 3.744$ $0,\!14\%$

Ferna $\displaystyle 13 \cdot 48 = 624$ $0,\!024\%$

Litaröð $\displaystyle 4 \cdot 9 = 36$ $0,\!0014\%$

Konungleg litaröð $4$ $0,\!0000015\%$

Mynd:

Upphaflega var spurningin sem hér segir:

Hverjar eru líkurnar á að fá „royal flush“ í póker?

Útgáfudagur

4.10.2011

Spyrjandi

Jakob Gunnarsson, f. 1993, Garðar Eðvaldsson, f. 1994

Höfundur

B.S. í stærðfræði

Tilvísun

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker?“ Vísindavefurinn, 4. október 2011. Sótt 22. ágúst 2018. http://visindavefur.is/svar.php?id=31469.

Einar Bjarki Gunnarsson. (2011, 4. október). Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=31469

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hverjar eru líkurnar á að fá par, tvö pör, þrennu og svo framvegis í fimm spila póker?“ Vísindavefurinn. 4. okt. 2011. Vefsíða. 22. ágú. 2018. <http://visindavefur.is/svar.php?id=31469>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Tyggjó

Tyggjó er búið til úr trjákvoðu eða gerviefnum. Bætt er við litar- og bragðefnum, vaxi og oft sykri eða sætuefnum. Yfirleitt er talið að tyggjó hafi fyrst verið selt um miðja 19. öld en menn hafa tuggið einhvers konar tyggjó miklu lengur, eða í mörg þúsund ár.