Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hvernig sannið þið að hlutfall ummáls hrings og þvermáls sé fasti óháður geisla hringsins?

Í flatarmyndafræði er sagt að tvær flatarmyndir séu einslaga ef sama hlutfallið er milli sérhverrar lengdar í annarri myndinni og tilsvarandi lengdar í hinni. Til dæmis eru fimmhyrningarnir tveir á myndinni að neðan einslaga, því ef reiknuð eru hlutföllin milli tilsvarandi lengda í þeim fæst:

\[

\frac42 = 2, \quad \frac42 = 2, \quad \frac63=2, \quad \frac{10}5=2 \quad\text{og}\quad \frac84=2.

\]


    Ef fimmhyrningarnir eru skoðaðir nánar sést að þeir eru alveg eins í laginu, nema hvað að þeir eru misstórir. Þess vegna er hægt að hugsa sér að hægri fimmhyrningurinn sé stækkuð útgáfa af þeim vinstri. Þetta gildir almennt um tvær flatarmyndir sem eru einslaga.

    Með lýsinguna úr síðustu efnisgrein í huga er auðvelt að sjá að tveir ólíkir hringir eru alltaf einslaga. Á þessari staðreynd byggist líklega einfaldasta sönnunin á að hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings sé fasti, og nú verður hún sett fram.



    Segjum að við höfum tvo ólíka hringi sem hafa geisla $r_1$ og $r_2$. Köllum þvermál hringjanna $þ_1$ og $þ_2$ og ummál þeirra $U_1$ og $U_2$. Þar sem hringirnir eru einslaga vitum við að sama hlutfallið er milli sérhverrar lengdar í öðrum hringnum og tilsvarandi lengdar í hinum. Það þýðir að sama hlutfall er milli ummála hringjanna annars vegar og þvermála þeirra hins vegar, það er

    \[

    \frac{U_1}{U_2} = \frac{þ_1}{þ_2}.

    \] Margföldum nú báðar hliðar þessarar jöfnu með stærðinni $\frac{U_2}{þ_1}$:

    \[

    \frac{U_2}{þ_1} \cdot \frac{U_1}{U_2} = \frac{U_2}{þ_1} \cdot \frac{þ_1}{þ_2}.

    \] Nú er hægt að stytta $U_2$ út í vinstri hlið jöfnunnar og $þ_1$ í hægri hlið hennar. Þannig fæst:

    \[

    \frac{U_1}{þ_1} = \frac{U_2}{þ_2}.

    \] Þessi jafna segir að ef reiknað er hlutfallið milli ummáls og þvermáls fyrri hringsins, þá fæst það sama út og þegar reiknað er hlutfallið milli ummáls og þvermáls seinni hringsins. Við höfum þá sýnt að hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings er fasti, sem er einmitt það sem við vildum sanna.

    Mikilvægi staðhæfingarinnar sem við vorum að sanna felst í því að hún gerir okkur kleift að skilgreina töluna $\pi$ sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Þessi skilgreining væri auðvitað tóm steypa ef hlutfallið væri ekki það sama í öllum hringjum. Nánar má lesa um töluna $\pi$ í svari Eggerts Briem við spurningunni Hverjir „fundu upp“ π (pí)? og svari Hrannars Baldurssonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Hvað hefur talan pí marga aukastafi og hverjir eru þeir?

    Upprunalega hljóðaði spurningin svona:
    Vinsamlegast leggið fram sönnun þess að hlutfall ummáls hrings og þvermáls sé fasti óháður geisla hringsins?

    Útgáfudagur

    7.12.2011

    Spyrjandi

    Ólafur Ísleifsson

    Höfundur

    Einar Bjarki Gunnarsson

    B.S. í stærðfræði

    Tilvísun

    Einar Bjarki Gunnarsson. „Hvernig sannið þið að hlutfall ummáls hrings og þvermáls sé fasti óháður geisla hringsins?“. Vísindavefurinn 7.12.2011. http://visindavefur.is/?id=60487. (Skoðað 29.7.2014).

    Sendu inn spurningu
    eða

    Vísindadagatalið

    James Hutton

    1726-1797

    Skoskur jarðfræðingur og læknir, oft talinn faðir nútíma jarðfræði. Hélt fram sístöðuhyggju í náttúruvísindum og innleiddi langan tímakvarða í jarðvísindum.