Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:36 • sest 21:19 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 16:44 • Sest 05:50 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 04:37 • Síðdegis: 17:05 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:57 • Síðdegis: 23:09 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Hugvísindi Heimspeki

Er munur á mótsögn og þversögn? Ef svarið er já, hver er þá munurinn?

Geir Þ. Þórarinsson

Mótsögn er í hnotskurn fullyrðing sem bæði játar og neitar því sama. Einföld framsetning gæti verið á þessa leið á táknmáli rökfræðinnar:
p ∧ ¬ p

(það er p og ekki-p)

þar sem breytan p stendur fyrir hvaða staðhæfingu sem er. Ef breytan p stendur til dæmis fyrir staðhæfinguna „Ísland er eyja“ fæst:
Ísland er eyja og Ísland er ekki eyja

sem er mótsögn.

Mótsagnir eru alltaf ósannar. Í rökfræði er mótsagnarlögmálið regla sem bannar mótsagnir. Einföld framsetning reglunnar á táknmáli rökfræðinnar gæti verið á þessa leið:
¬(p ∧ ¬ p)

(það er ekki bæði p og ekki-p)

Þversögn eða þverstæða er fullyrðing sem virðist vera ósönn eða fráleit en virðist jafnframt leiða af sönnum forsendum. Bandaríski heimspekingurinn W.V.O. Quine (1908-2000) gerði greinarmun á þrenns konar þverstæðum. Í sumum tilvikum reynast forsendurnar ekki vera sannar eða það reynist vera villa í röksemdafærslunni þegar að er gáð. Slíkar þverstæður má kalla hrekjandi þverstæðu (e. falsidical paradox) af því að þverstæðan afsannar eða hrekur forsendurnar eða rökin; það er að segja niðurstaðan sem virðist fráleit sýnir fram á að forsendurnar sem virtust vera sannar eru það ekki í raun eða að það er villa einhvers staðar í röksemdafærslunni.

Í öðrum tilvikum eru forsendurnar sannar og rökin villulaus en niðurstaðan sem við fyrstu sýn virtist ósönn eða fráleit reynist vera rétt þegar öllu er á botninn hvolft. Slíkar þverstæður mætti kalla sannandi þverstæður (e. veridical paradox) af því að niðurstaðan sem virtist vera fráleit reynist vera sönn þegar betur er að gáð.

Að lokum ber að nefna þverstæður sem virðast byggja á augljóslega sönnum forsendum og eru studdar villulausum rökum en leiða samt til mótsagnar. Við getum kallað slíkar þverstæður mótsagnarþverstæður (e. antinomy). Quine segir muninn á mótsagnarþverstæðu og hrekjandi þverstæðu vera þann að forsendur mótsagnarþverstæðunnar skipta okkur mun meira máli en forsendur hrekjandi þverstæðu og þess vegna eigum við erfiðara með að sætta okkur við þá tilhugsun að mótsagnarþverstæðan sýni fram á að forsendurnar séu ósannar.

Með öðrum orðum er mótagnarþverstæða þverstæða þar sem okkur svíður jafn sárt að gefa upp á bátinn forsendurnar eins og að horfast í augu við mótsögnina sem þverstæðan leiðir til; hún krefst ekki einungis þess að við höfnum rökunum eða forsendunum sem gátu af sér þverstæðuna líkt og hrekjandi þverstæða, heldur krefst hún gagngerrar endurskoðunar á mikilvægum þáttum í hugtakakerfi okkar vegna þess hve forsendurnar sem um ræðir eru okkur mikilvægar. Þegar slík endurskoðun hefur átt sér stað lítum við mótsagnarþverstæðuna nýjum augum og teljum hana gjarnan hrekjandi þverstæðu. Þess vegna segir Quine að þverstæða sem einn álítur vera mótsagnarþverstæðu sé í annars augum hrekjandi þverstæða eftir um tvö þúsund ára aðlögunartíma.

Sem dæmi um hrekjandi þverstæðu má nefna ýmsar sannanir fyrir því að 1 = 2 og þverstæðu Zenons um Akkilles og skjaldbökuna. Í báðum tilvikum er niðurstaðan fráleit og þegar að er gáð kemur í ljós að í röksemdafærslunum eru villur. En þverstæður Zenons voru ef til vill mótsagnarþverstæður síns tíma. Sem dæmi um sannandi þverstæðu má nefna þverstæðuna um rakarann sem rakar alla karlana í þorpinu sem raka sig ekki sjálfir (ef gengið er út frá því að þversögnin sé sú að slíkur rakari geti ekki verið til). Í fyrstu gæti maður haldið að auðvitað væri hægt að finna rakara einhvers staðar sem rakar alla karlana í þorpinu sem raka sig ekki sjálfir en þegar betur er að gáð kemur í ljós að svo er ekki.

Sem dæmi um mótsagnarþverstæðu má nefna þverstæðuna um lygarann og þverstæðu Russells. Í sinni einföldustu mynd er þverstæða lygarans þannig að einhver segir „Ég lýg!“. Ef fullyrðingin er sönn þá er satt að viðkomandi sé að ljúga en þar með er viðkomandi að segja ósatt, svo að ef fullyrðingin er sönn þá er hún ósönn. En ef hún er ósönn þá er ósatt að viðkomandi sé að ljúga og þar með er hann að segja satt, svo að ef hún er ósönn þá er hún sönn. Þverstæðan er því sönn ef og aðeins ef hún er ósönn og þannig felur hún í sér mótsögn. Þverstæðan krefst þess að við tökum sannleikshugtakið til endurskoðunar.

Þverstæða Russells fjallar um mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér. Í fyrstu gæti manni virst sem svo að auðvitað geti slíkt mengi verið til líkt og hvert annað mengi en þegar að er gáð kemur í ljós að ef mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér er til, þá er það stak í sjálfu sér ef og aðeins ef það er ekki stak í sjálfu sér. Í þverstæðunni er hvergi nein villa heldur leiðir sjálf hugmyndin um mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér til mótsagnar. Þess vegna varð þverstæðan til þess að menn tóku til endurskoðunar ýmis undirstöðuatriði í mengjafræðinni.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og ítarefni:
  • Quine, W.V.O., „The Ways of Paradox“ í The Ways of Paradox and Other Essays (Cambridge, MA.: Harvard University Press, 1966): 3-20 .

Höfundur

Geir Þ. Þórarinsson

Geir Þ. Þórarinsson

aðjúnkt í grísku og latínu við Háskóla Íslands

Útgáfudagur

8.5.2008

Spyrjandi

Magnús Örn Sigurðsson, f. 1989

Efnisorð

Tilvísun

Geir Þ. Þórarinsson. „Er munur á mótsögn og þversögn? Ef svarið er já, hver er þá munurinn?“ Vísindavefurinn, 8. maí 2008. Sótt 20. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=25868.

Geir Þ. Þórarinsson. (2008, 8. maí). Er munur á mótsögn og þversögn? Ef svarið er já, hver er þá munurinn? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=25868

Geir Þ. Þórarinsson. „Er munur á mótsögn og þversögn? Ef svarið er já, hver er þá munurinn?“ Vísindavefurinn. 8. maí. 2008. Vefsíða. 20. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=25868>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Er munur á mótsögn og þversögn? Ef svarið er já, hver er þá munurinn?
Mótsögn er í hnotskurn fullyrðing sem bæði játar og neitar því sama. Einföld framsetning gæti verið á þessa leið á táknmáli rökfræðinnar:

p ∧ ¬ p

(það er p og ekki-p)

þar sem breytan p stendur fyrir hvaða staðhæfingu sem er. Ef breytan p stendur til dæmis fyrir staðhæfinguna „Ísland er eyja“ fæst:
Ísland er eyja og Ísland er ekki eyja

sem er mótsögn.

Mótsagnir eru alltaf ósannar. Í rökfræði er mótsagnarlögmálið regla sem bannar mótsagnir. Einföld framsetning reglunnar á táknmáli rökfræðinnar gæti verið á þessa leið:
¬(p ∧ ¬ p)

(það er ekki bæði p og ekki-p)

Þversögn eða þverstæða er fullyrðing sem virðist vera ósönn eða fráleit en virðist jafnframt leiða af sönnum forsendum. Bandaríski heimspekingurinn W.V.O. Quine (1908-2000) gerði greinarmun á þrenns konar þverstæðum. Í sumum tilvikum reynast forsendurnar ekki vera sannar eða það reynist vera villa í röksemdafærslunni þegar að er gáð. Slíkar þverstæður má kalla hrekjandi þverstæðu (e. falsidical paradox) af því að þverstæðan afsannar eða hrekur forsendurnar eða rökin; það er að segja niðurstaðan sem virðist fráleit sýnir fram á að forsendurnar sem virtust vera sannar eru það ekki í raun eða að það er villa einhvers staðar í röksemdafærslunni.

Í öðrum tilvikum eru forsendurnar sannar og rökin villulaus en niðurstaðan sem við fyrstu sýn virtist ósönn eða fráleit reynist vera rétt þegar öllu er á botninn hvolft. Slíkar þverstæður mætti kalla sannandi þverstæður (e. veridical paradox) af því að niðurstaðan sem virtist vera fráleit reynist vera sönn þegar betur er að gáð.

Að lokum ber að nefna þverstæður sem virðast byggja á augljóslega sönnum forsendum og eru studdar villulausum rökum en leiða samt til mótsagnar. Við getum kallað slíkar þverstæður mótsagnarþverstæður (e. antinomy). Quine segir muninn á mótsagnarþverstæðu og hrekjandi þverstæðu vera þann að forsendur mótsagnarþverstæðunnar skipta okkur mun meira máli en forsendur hrekjandi þverstæðu og þess vegna eigum við erfiðara með að sætta okkur við þá tilhugsun að mótsagnarþverstæðan sýni fram á að forsendurnar séu ósannar.

Með öðrum orðum er mótagnarþverstæða þverstæða þar sem okkur svíður jafn sárt að gefa upp á bátinn forsendurnar eins og að horfast í augu við mótsögnina sem þverstæðan leiðir til; hún krefst ekki einungis þess að við höfnum rökunum eða forsendunum sem gátu af sér þverstæðuna líkt og hrekjandi þverstæða, heldur krefst hún gagngerrar endurskoðunar á mikilvægum þáttum í hugtakakerfi okkar vegna þess hve forsendurnar sem um ræðir eru okkur mikilvægar. Þegar slík endurskoðun hefur átt sér stað lítum við mótsagnarþverstæðuna nýjum augum og teljum hana gjarnan hrekjandi þverstæðu. Þess vegna segir Quine að þverstæða sem einn álítur vera mótsagnarþverstæðu sé í annars augum hrekjandi þverstæða eftir um tvö þúsund ára aðlögunartíma.

Sem dæmi um hrekjandi þverstæðu má nefna ýmsar sannanir fyrir því að 1 = 2 og þverstæðu Zenons um Akkilles og skjaldbökuna. Í báðum tilvikum er niðurstaðan fráleit og þegar að er gáð kemur í ljós að í röksemdafærslunum eru villur. En þverstæður Zenons voru ef til vill mótsagnarþverstæður síns tíma. Sem dæmi um sannandi þverstæðu má nefna þverstæðuna um rakarann sem rakar alla karlana í þorpinu sem raka sig ekki sjálfir (ef gengið er út frá því að þversögnin sé sú að slíkur rakari geti ekki verið til). Í fyrstu gæti maður haldið að auðvitað væri hægt að finna rakara einhvers staðar sem rakar alla karlana í þorpinu sem raka sig ekki sjálfir en þegar betur er að gáð kemur í ljós að svo er ekki.

Sem dæmi um mótsagnarþverstæðu má nefna þverstæðuna um lygarann og þverstæðu Russells. Í sinni einföldustu mynd er þverstæða lygarans þannig að einhver segir „Ég lýg!“. Ef fullyrðingin er sönn þá er satt að viðkomandi sé að ljúga en þar með er viðkomandi að segja ósatt, svo að ef fullyrðingin er sönn þá er hún ósönn. En ef hún er ósönn þá er ósatt að viðkomandi sé að ljúga og þar með er hann að segja satt, svo að ef hún er ósönn þá er hún sönn. Þverstæðan er því sönn ef og aðeins ef hún er ósönn og þannig felur hún í sér mótsögn. Þverstæðan krefst þess að við tökum sannleikshugtakið til endurskoðunar.

Þverstæða Russells fjallar um mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér. Í fyrstu gæti manni virst sem svo að auðvitað geti slíkt mengi verið til líkt og hvert annað mengi en þegar að er gáð kemur í ljós að ef mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér er til, þá er það stak í sjálfu sér ef og aðeins ef það er ekki stak í sjálfu sér. Í þverstæðunni er hvergi nein villa heldur leiðir sjálf hugmyndin um mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér til mótsagnar. Þess vegna varð þverstæðan til þess að menn tóku til endurskoðunar ýmis undirstöðuatriði í mengjafræðinni.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og ítarefni:
  • Quine, W.V.O., „The Ways of Paradox“ í The Ways of Paradox and Other Essays (Cambridge, MA.: Harvard University Press, 1966): 3-20 .
...