Hverjir eru helstu stærðfræðilegu eiginleikar sporbaugs?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hverjir eru helstu stærðfræðilegu eiginleikar sporbaugs?
Keilusnið (e. conic sections) eru skurðferlarnir sem myndast þegar keila er skorin með sléttum fleti. Þessir skurðferlar geta orðið þrenns konar eftir því hvernig slétti flöturinn hallar og þannig fást þrjár ólíkar gerðir keilusniða: Sporbaugar (e. ellipse), fleygbogar (e. parabola) og breiðbogar (e. hyperbola).

Áður hefur verið fjallað um keilusnið á Vísindavefnum í svari Rögnvalds G. Möller við spurningunni Hvað er keilusnið? og í svari Kristínar Bjarnadóttur við spurningunni Hver var Apollóníos frá Perga og hvert var framlag hans til vísindanna? Hér verða sporbaugar teknir til frekari umfjöllunar, en þeir eru sú gerð keilusniða sem fæst þegar skurðferill keilunnar og slétta flatarins er lokaður, sem þýðir að hann byrjar og endar í sama punktinum. Myndin til hægri sýnir tvo slíka ferla.

Áður en lengra er haldið skulum við gera grein fyrir nokkrum hugtökum. Langás (e. major axis) sporbaugs nær milli þeirra tveggja punkta á sporbaugnum sem eru lengst hvor frá öðrum. Skammás (e. minor axis) sporbaugsins stendur þvert á langásinn og fer gegnum hann miðjan. Sporbaugurinn er samhverfur um báða þessa ása, sem þýðir að ef honum er speglað um annan hvorn ásinn fellur sporbaugurinn í sjálfan sig.

Langásinn og skammásinn skerast í miðpunkti (e. center) sporbaugsins, sem skiptir báðum ásunum í tvo jafna hluta. Hvor hluti langássins kallast hálfur langás (e. semimajor axis) og hvor hluti skammássins kallast hálfur skammás (e. semiminor axis). Lengdir hálfásanna eru oft táknaðar með $a$ og $b$, eins og gefið er til kynna á myndinni að neðan.

Á langási sporbaugs liggja tveir tilteknir punktar sem eru sérstaklega mikilvægir. Þessir punktar liggja hvor sínum megin við miðpunktinn, í sömu fjarlægð frá honum, og kallast brennipunktar (e. focus) sporbaugsins. Á myndinni að neðan eru þeir merktir með $F_1$ og $F_2$. Fjarlægð brennipunktanna frá miðpunkti sporbaugsins kallast brennilengd (e. focal length) hans.

Punktarnir á sporbaugnum einkennast af eftirfarandi eiginleika: Samanlögð fjarlægð hvers og eins þeirra frá brennipunktum sporbaugsins er jöfn lengd langássins. Á myndinni að ofan þýðir þetta að rauðu strikin hafi samanlagt sömu lengd og langásinn.

Að punktur $P$ sé á sporbaugnum þýðir sem sagt að $PF_1 + PF_2 = 2a$, þar sem $a$ er hálfur langásinn eins og áður var sagt frá. Þennan eiginleika má nota til að skilgreina sporbaug í stað þess að lýsa honum sem skurðfleti keilu og slétts flatar, eins og gert var fremst í svarinu.

Til er formúla sem gerir okkur kleift að reikna brennilengdina, það er fjarlægð brennipunktanna frá miðpunktinum, sem við táknum með $f$. Til þess látum við $P$ vera þann punkt á sporbaugnum sem liggur á efri hluta skammássins, eins og myndin að neðan sýnir.

Þar sem $P$ er punktur á sporbaugnum vitum við að rauðu strikin hafa samanlagt sömu lengd og langásinn. Þar sem skammásinn liggur um miðjan langásinn er jafnframt ljóst að punkturinn $P$ liggur mitt á milli brennipunktanna. Þess vegna eru rauðu strikin tvö jafnlöng, sem þýðir að hvort strik um sig hefur sömu lengd og hálfur langásinn. Með öðrum orðum hafa bæði rauðu strikin lengdina $a$, eins og myndin að ofan gefur til kynna.

Með því að nota reglu Pýþagórasar í hægri þríhyrningnum á myndinni að ofan fæst þá að $f^2+b^2 = a^2$, sem gefur $f^2 = a^2-b^2$ og því $f=\sqrt{a^2-b^2}$. Þessi formúla segir okkur hvernig við getum reiknað brennilengdina út frá hálfum langás og hálfum skammás sporbaugsins.

Vert er að minnast á eitt hugtak til viðbótar sem mikið er notað þegar rætt er um sporbauga. Hringvik (e. eccentricity) sporbaugs er yfirleitt táknað með $e$ og það er skilgreint sem hlutfall brennilengdar og hálfa langássins. Með öðrum orðum er $e = f/a$.

Hringvik sporbaugs er alltaf tala á bilinu 0 til 1 og eins og nafngiftin gefur til kynna er hún mælikvarði á hversu mikið sporbaugurinn líkist hring. Ef hringvikið er 0 er sporbaugurinn einfaldlega hringur (sem er sérstök gerð sporbaugs), en eftir því sem hringvikið færist nær 1 verður sporbaugurinn sífellt aflengri, eins og myndin að ofan endurspeglar.

Í náttúrunni birtast sporbaugar meðal annars í hreyfingu reikistjarnanna, en fyrsta lögmál Keplers segir að sérhver reikistjarna ferðist umhverfis sólu eftir sporbaug og að sólin sitji í öðrum brennipunkti hans. Vert er að geta þess að sporbaugarnir sem reikistjörnurnar fara eftir eru jafnan mjög nálægt hringlögun; til dæmis hefur braut jarðar um sólu hringvikið 0,017, braut Venusar hefur hringvikið 0,0068 og braut Satúrnusar hefur hringvikið 0,054. Mest er hringvikið í braut Merkúríusar, eða 0,206.

Heimild:

• NASA's Solar System Exploration. Skoðað 15. mars 2012.

Myndir:

• Allar myndir voru teiknaðar af höfundi svarsins.

...