Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?

Áður en við skoðum sönnun spyrjanda á að $1 = -1$ skulum við skoða tvö hugtök sem koma fyrir í sönnuninni: Annars vegar kvaðratrót og hins vegar töluna $i$.

Látum $a$ tákna jákvæða tölu. Kvaðratrótin af $a$ er táknuð með $\sqrt{a}$ og hún ákvarðast af eftirfarandi tveimur eiginleikum:

  • $\sqrt{a}$ er jákvæð tala.
  • $(\sqrt{a})^2 = a$.

Sem dæmi má nefna að $\sqrt{81} = 9$, vegna þess að $9$ er jákvæð tala og $9^2 = 81$. Einnig er $\sqrt{1,\!5625} = 1,\!25$, vegna þess að $1,\!25$ er jákvæð tala og $(1,\!25)^2 = 1,\!5625$.

Um kvaðratrætur gildir svokölluð rótarregla, sem segir að fyrir allar jákvæðar tölur $a$ og $b$ gildi:

\[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.\]

Einfalt mál er að sanna þessa reglu. Tökum fyrst eftir því að $\sqrt{a}$ og $\sqrt{b}$ eru jákvæðar tölur samkvæmt skilgreiningu á kvaðratrót, svo margfeldið $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ er líka jákvæð tala. Athugum síðan að þar sem $(\sqrt{a})^2 = a$ og $(\sqrt{b})^2 = b$ fáum við:

\[(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b.\]

Við höfum þá sýnt eftirfarandi:

  • $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ er jákvæð tala.
  • $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Samkvæmt síðustu efnisgrein vitum við að kvaðratrótin af $a \cdot b$ ákvarðast einmitt af þessum tveimur eiginleikum. Þess vegna er $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ kvaðratrótin af $a \cdot b$, sem er einmitt það sem reglan segir.

Talan $i$ er tvinntala sem hefur þann eiginleika að $i^2 = -1$. Vegna þessa eiginleika er $i$ stundum táknuð með $\sqrt{-1}$. Nánar má lesa um töluna $i$ og um aðrar tvinntölur í svari Þorsteins Vilhjálmssonar og Ögmundar Jónssonar við spurningunni Er mengi rauntalna hlutmengi í mengi tvinntalna? og í svari Gunnars Þórs Magnússonar og Þorsteins Vilhjálmssonar við spurningunni Eru tvinntölurnar til í raun og veru?

Nú getum við skoðað sönnun spyrjanda á að $1 = -1$. Hún er svona:

\[1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1.\]

Villan í sönnuninni kemur í þriðja skrefinu, þar sem sagt er að

\[\sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}.\]

Þetta skref kann að virðast rétt samkvæmt rótarreglunni $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ sem við sönnuðum að ofan. Hins vegar byggðist sú sönnun alfarið á því að tölurnar $a$ og $b$ væru báðar jákvæðar. Þess vegna er ekki hægt að beita reglunni hér.

Það sem „sönnun“ spyrjanda sýnir í raun og veru er að reglan $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ geti ekki verið rétt ef $a$ og $b$ eru neikvæðar tölur, því ef við gerum ráð fyrir að svo sé hefur það í för með sér að $1 = -1$.

Útgáfudagur

28.9.2011

Spyrjandi

Ingólfur Magnússon

Höfundur

B.S. í stærðfræði

Tilvísun

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?“ Vísindavefurinn, 28. september 2011. Sótt 27. júlí 2017. http://visindavefur.is/svar.php?id=8417.

Einar Bjarki Gunnarsson. (2011, 28. september). Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=8417

Einar Bjarki Gunnarsson. „Hvað er að þessari sönnun á að 1 = -1?“ Vísindavefurinn. 28. sep. 2011. Vefsíða. 27. júl. 2017. <http://visindavefur.is/svar.php?id=8417>.

Chicago | APA | MLA

Sendu inn spurningu
eða

Vísindadagatalið

Vín

Vín hefur fylgt manninum að minnsta kosti frá síðari hluta nýsteinaldar. Það var líklega fyrst bruggað úr vínberjum einhvers staðar á svæðinu frá Kákasusfjöllum suður að Persaflóa. Elsta þekkta brugghúsið sem fundist hefur er rúmlega 6.000 ára gamalt. Það fannst í hellum í Armeníu. Litur rauðvíns kemur úr hýði dökkra vínberja en hvítvín er bruggað úr ljósum eða grænum vínberjum.